Контрольные вопросы и задания по теме:
1. Атомы логики первого порядка.
2. Термы, n-местные предикаты.
3. Кванторные комплексы.
4. Свободная и связанная переменные в формулах логики первого порядка.
5. Правильно построенные формулы в логике первого порядка.
6. Интерпретация формулы логики первого порядка.
7. Противоречивость, непротиворечивость и общезначимость формул логики первого порядка.
8. Логическое следствие в логике первого порядка.
9. Для перечисленных формул доказать, что:
9.1. (x)Р(х)(x)Р(у) противоречива;
9.2. (x)Р(х) (у)Р(у) общезначима;
9.3. Р(а) ((x)Р(х)) непротиворечива;
9.4. (x)Р(х)((у)Р(у)) общезначима.
10. Для следующей интерпретации (D={a,b}):
-
P(a,a)
P(a,b)
P(b,a)
P(b,b)
1
0
0
1
определить истинностные значения следующих формул:
10.1. (x)(у)Р(х,у);
10.2. (x)(y)Р(х,у);
10.3. (x)(y)Р(х,у);
10.4. (у)Р(а,у);
10.5. (x)(y)(Р(х,у) Р(у,х));
10.6. (x)Р(х,х);
11. Дана формула А: (x)Р(х) (x)Р(х).
11.1. Доказать, что эта формула всегда истинна, если область D содержит только один элемент.
11.2. Пусть D={a,b}. Найти интерпретацию с областью D, в которой А=0.
12. Задана следующая интерпретация:
Область: D={1,2}.
Значение констант а и b:
-
a
b
1
2
Значение функции f:
-
f(1)
f(2)
2
1
Значение предиката Р:
-
Р(1,1)
P(1,2)
P(2,1)
P(2,2)
1
1
0
1
Найти истинностные значения следующих формул в указанной интерпретации:
12.1. Р(а,f(a))P(b,f(b));
12.2. (x)(у)P(x,y);
12.3. (x)(y)(P(x,y) P(f(x),f(y))).
13. Пусть F1 и F2 таковы: F1: (x)(Р(х) Q(x)), F2: Q(a).
Доказать, что P(a) есть логическое следствие F1 и F2.
Тема: Эквивалентные преобразования формул логики первого порядка. Получение пнф, ссф. Метод резолюций
В данной теме рассмотрим эквивалентные преобразования формул логики первого порядка, законы логики первого порядка, алгоритмы преобразования формул в предваренную нормальную форму и скулемовскую стандартную форму, доказательство логических следствий в ЛППП.
В логике высказываний были введены две нормальные формы конъюнктивная нормальная форма и дизъюнктивная нормальная форма. В логике первого порядка также имеется нормальная форма, называемая “предваренной нормальной формой” (ПНФ). Цель рассмотрения предваренной нормальной формы - упрощение процедуры доказательства. Формула F в логике первого порядка находится в предваренной нормальной форме тогда и только тогда, когда формула F имеет вид
(Q1х1)...(Qnxn)(M),
где каждое (Qixi), i=1,...,n, есть или (xi) или (xi), и М есть формула, не содержащая кванторов. (Q1х1)...(Qnxn) называется префиксом, а М-матрицей формулы F. Примеры формул находящихся в ПНФ:
(x)(y)(Р(х,у) Q(y)),
(
x)(y)(z)(Q(x,y)
R(z)).
Для приведения формул к ПНФ важно понятие эквивалентности формул.
Две формулы F и G эквивалентны (F=G) тогда и только тогда, когда истинностные значения F и G одни и те же при любой интерпретации.
Основные пары эквивалентных формул, представляющие собой законы ЛВ, эквивалентны и в логике первого порядка. Кроме них существуют и другие пары эквивалентных формул, содержащих кванторы. Это следующие тождества, называемые законами логики первого порядка для кванторов:
1) Закон замены связанных переменных
(x)Р(х)=( y)Р(у),
(x)Р(х)=( y)Р(у).
Вводя новые обозначения для связанных переменных, следует выбрать букву, которая отсутствует в формуле, чтобы избежать так называемой коллизии переменных, т.е.:
(x)(y)Р(х,у)=(x)(z)Р(х,z), но
(x)(y)Р(х,у) (x)(x)Р(х,х).
2) Коммутативные свойства кванторов
(x)( y)Р(х,у)=(y)(x)Р(х,у),
(x)( y)Р(х,у)=(y)(x)Р(х,у).
Необходимо помнить, что одноименные кванторы можно менять местами, а разноименные нельзя, т.е.
(x)( y)Р(х,у) (y)(x)Р(х,у).
3) Дистрибутивные свойства кванторов
(x)Р(х)G=(x)(P(x) G),
(x)Р(х)G=(x)(P(x) G),
(x)Р(х) G=(x)(P(x) G),
(x)Р(х) G=(x)(P(x) G),
где G - формула, не содержащая переменной х.
(x)Р(х) ( x)Q(x)=(x)(P(x) Q(x)),
(x)Р(х) (x)Q(x)=(x)(P(x)Q(x)),
т.е. квантор всеобщности и квантор существования можно распределять по и соответственно. Однако квантор всеобщности и квантор существования нельзя распределять по и соответственно, т.е.
(x)Р(х)(x)Q(x) (x)(P(x)Q(x)),
(x)Р(х)(x)Q(x) (x)(P(x)Q(x)).
В случаях подобных этим используют следующие тождества:
(x)F(x)(x)Q(x)=(x)F(х)(y)Q(y) = (x)(y)(F(x)Q(y)),
(x)F(x) (x)Q(x)=(x)F(х)(y)Q(y) = (x)(y)(F(x)Q(y)).