Контрольные вопросы и задания по теме:

1. Эквивалентные соотношения в логике высказываний.

2. Законы ЛВ.

3. Конституенты единицы. Конституенты нуля.

4. ДНФ, СДНФ, КНФ, СКНФ.

5. Булевы функции. Способы задания булевых функций.

6. Проверьте эквивалентность следующих формул, преобразуя формулы с обеих сторон от знака = к одной и той же нормальной форме:

а)PP=P, PP=P

b)(P Q)(P R)=(P (QR)),

c)(PQ) (PQ)=(P Q)(P Q),

d)PQ(PQ)=PQ(PQ),

e)P(P (PQ))=PQ(PQ)

7. Определить, являются ли следующие формулы высказываний общезначимыми, противоречивыми или выполнимыми:

a)(X Y) (X (Y X)),

b)X (XY),

c)(X Y) ((Y Z) (X Z))

8. Перейти от формулы булевой функции к ее СДНФ.

9. Перейти от формулы к таблице булевой функции через СДНФ и СКНФ.

# Доказательство логических следствий в логике высказываний

Рассмотрим понятие логического вывода в логике высказываний и процедуры логического вывода.

Необходимо усвоить следующие основные понятия. В математике, как и в обычной жизни, часто нужно решить, следует ли одно утверждение из нескольких других. Это приводит к понятию “логический вывод”. Пусть даны формулы F₁,F₂,...,F_n и формула G. Товорят, что G есть логическое следствие формул F₁,F₂,...,F_n (или G логически следует из F₁,F₂,...,F_n) тогда и только тогда, когда для всякой интерпретации I, в которой F₁F₂...F_n истинна, G также истинна. F₁,F₂,...,F_n называются аксиомами (или постулатами или посылками) G.

Следует знать и уметь пользоваться следующими теоремами о выводе логического следствия:

Теорема 1. Пусть даны формулы F₁,F₂,...,F_n и формула G. Тогда G есть логическое следствие F₁,F₂,...,F_n тогда и только тогда, когда ((F₁F₂...F_n) G) общезначима.

Теорема 2. Пусть даны формулы F₁,F₂,...,F_n и формула G. Тогда G есть логическое следствие F₁,F₂,...,F_n тогда и только тогда, когда (F₁F₂...F_nG) противоречива.

Теоремы 1 и 2 очень важны. Из них вытекает: доказательство того, что отдельная формула есть логическое следствие конечного множества формул, эквивалентное доказательству того, что некоторая связанная с ними формула общезначима или противоречива. Если G есть логическое следствие формул F₁,F₂,...,F_n , то формула ((F₁F₂...F_n) G) называется теоремой, а G называется также заключением теоремы. В математике, так же, как и в других областях, многие проблемы могут быть сформулированы как проблемы доказательства теорем.

Рассмотрим примеры решения типичных упражнений и задач

1. Даны формулы логики высказываний: f1 (p q), f2 q, g p.

Показать, что G есть логическое следствие F₁ и F₂.

Решение. Метод 1. Используем метод истинностных таблиц, чтобы показать, что G истинна в каждой модели формулы (P Q)Q. (Когда интерпретация I удовлетворяет формуле F, I называется моделью F). Из табл.3.4 мы видим, что есть только одна модель для (P Q)Q, а именно {P,Q}.

Таблица9.4 - Истинностная таблица (P Q)Q и P.

P Q	P Q	Q	(P Q)Q	P
0 0 0 1 1 0 1 1	1 1 0 1	1 0 1 0	1 0 0 0	1 1 0 0

Формула P истинна в этой модели. Таким образом, по определению логического следствия заключаем, что Р есть логическое следствие (P Q) и Q.

Метод 2. Используем теорему 1. Это может быть сделано просто путем расширения истинностной таблицы в табл.9.4, т.е. путем вычисления истинностных значений формулы ((P Q)Q) P. Табл.3.5 показывает, что ((P Q)Q) P истинна при всех интерпретациях.

Таблица 9.5 - Истинностная таблица для ((P Q)Q) P

P Q	P Q	Q	(P Q)Q)	P	((P Q)Q) P
0 0 0 1 1 0 1 1	1 1 0 1	1 0 1 0	1 0 0 0	1 1 0 0	1 1 1 1

Следовательно, ((P Q)Q) P общезначима и, согласно теореме 1, P есть логическое следствие (P Q) и Q.

Мы можем также доказать общезначимость формулы путем преобразования ее в конъюнктивную нормальную форму:

((P Q)Q) P=((P Q)Q)P=

=((PQ)Q)P=((PQ)(QQ))P=

=((PQ)Л)P=(PQ)P=(PQ)P=

=Q (PP)=QU=U.

Таким образом, ((P Q)Q) P общезначима.

Метод 3. Используем теорему 2. В этом случае мы докажем, что формула ((P Q)Q)((P))=(P Q)QP противоречива. Как и в методе 2, можно использовать метод истинностных таблиц, чтобы показать, что (P Q)QP ложна в каждой интерпретации. Из табл.11.6 мы заключаем, что (P Q)QP противоречива и, согласно теореме 2, P есть логическое следствие формул (P Q) и Q.

Таблица 9.6 - Истинностная таблица для (P Q)QP

P Q	P Q	Q	(P Q)QP
0 0 0 1 1 0 1 1	1 1 0 1	1 0 1 0	0 0 0 0

Мы можем также доказать противоречивость формулы (P Q)QP путем ее преобразования в дизъюнктивную нормальную форму:

(P Q)QP=(PQ)QP=(PQP)(QQP)=

=(ЛQ)(ЛP)=ЛЛ=Л. Таким образом, (P Q)QP противоречива.

2. Покажем применение логики высказываний при решении задач в словесной формулировке. Допустим, что если конгресс отказывается принять новые законы, то забастовка не будет окончена, если только она не длится более года и президент фирмы не уходит в отставку. Закончится ли забастовка, если конгрес отказывается действовать и забастовка только что началась?

Решение. Сперва преобразуем утверждения в символы:

Р: Конгресс отказывается действовать.

Q: Забастовка оканчивается.

R: Президент фирмы уходит в отставку.

S: Забастовка длится более года.

Тогда факты, данные в примере, могут быть представлены следующими формулами:

F₁: (P (Q(RS))) Если конгресс отказывается принять новые законы, то забастовка не будет окончена, если она не длится более года и президент фирмы не уходит в отставку.

F₂: P Конгресс отказывается действовать.

F₃: S Забастовка только что началась.

Можно ли заключить из фактов F₁, F₂ и F₃, что забастовка не будет окончена, т.е. можно ли показать, что Q есть логическое следствие F₁, F₂ и F₃? По теореме 1 это эквивалентно тому, что ((P (Q(RS)))PS) Q  общезначимая формула. Истинностные значения указанной формулы при всех интерпретациях приведены в табл. 9.7.

Таблица 9.7 - Истинностная таблица для (F₁  F₂  F₃) Q,

где F₁ (P (Q(RS))), F₂ Р, F₃ S

P	Q	R	S	F1	F2	F3	Q	(F1F2F3) Q
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1	0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1	1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1	0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1	1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0	1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0	1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Из табл 9.7 видно, что не существует интерпретации, при которой данная формула ложна. Следовательно, формула ((P (Q(RS)))PS) Q общезначима. Поэтому Q есть логическое следствие F₁,F₂ и F₃, т.е. мы можем получить заключение Q из F₁,F₂ и F₃. Следовательно, забастовка не будет окончена.

Из приведенных примеров видно, что логика высказываний может применяться ко многим задачам. Метод состоит в том, чтобы сначала записать задачи формулами, а затем доказать, что формулы общезначимы или противоречивы. Процедуру доказательства противоречивости формулы путем ее преобразования в ДНФ и получение противоречивой формулы (Л) иногда называют методом умножения, потому что процесс преобразования очень похож на раскрытие скобок в произведении сумм.

Мы показали использование метода истинностных таблиц и метода умножения для доказательства общезначимости (или противоречивости).