
- •Лекции № 5-6
- •4. Построить истинностную таблицу для формулы
- •Контрольные вопросы и задания по теме:
- •Контрольные вопросы и задания по теме:
- •# Доказательство логических следствий в логике высказываний
- •1. Даны формулы логики высказываний: f1 (p q), f2 q, g p.
- •Контрольные вопросы и задания по теме:
- •Интерпретации формул логики первого порядка
- •Контрольные вопросы и задания по теме:
- •Тема: Эквивалентные преобразования формул логики первого порядка. Получение пнф, ссф. Метод резолюций
- •4) Законы де Моргана для кванторов
- •Контрольные вопросы и задания по теме:
- •(Q1x1)(q2x2)...(Qnxn)m, где m есть кнф.
- •Проверить невыполнимость множества дизъюнктов
- •Контрольные вопросы и задания:
Контрольные вопросы и задания по теме:
1. Эквивалентные соотношения в логике высказываний.
2. Законы ЛВ.
3. Конституенты единицы. Конституенты нуля.
4. ДНФ, СДНФ, КНФ, СКНФ.
5. Булевы функции. Способы задания булевых функций.
6. Проверьте эквивалентность следующих формул, преобразуя формулы с обеих сторон от знака = к одной и той же нормальной форме:
а)PP=P, PP=P
b)(P Q)(P R)=(P (QR)),
c)(PQ) (PQ)=(P Q)(P Q),
d)PQ(PQ)=PQ(PQ),
e)P(P (PQ))=PQ(PQ)
7. Определить, являются ли следующие формулы высказываний общезначимыми, противоречивыми или выполнимыми:
a)(X Y) (X (Y X)),
b)X (XY),
c)(X Y) ((Y Z) (X Z))
8. Перейти от формулы
булевой функции к ее СДНФ.
9. Перейти от формулы
к таблице булевой функции через СДНФ и
СКНФ.
# Доказательство логических следствий в логике высказываний
Рассмотрим понятие логического вывода в логике высказываний и процедуры логического вывода.
Необходимо усвоить следующие основные понятия. В математике, как и в обычной жизни, часто нужно решить, следует ли одно утверждение из нескольких других. Это приводит к понятию “логический вывод”. Пусть даны формулы F1,F2,...,Fn и формула G. Товорят, что G есть логическое следствие формул F1,F2,...,Fn (или G логически следует из F1,F2,...,Fn) тогда и только тогда, когда для всякой интерпретации I, в которой F1F2...Fn истинна, G также истинна. F1,F2,...,Fn называются аксиомами (или постулатами или посылками) G.
Следует знать и уметь пользоваться следующими теоремами о выводе логического следствия:
Теорема 1. Пусть даны формулы F1,F2,...,Fn и формула G. Тогда G есть логическое следствие F1,F2,...,Fn тогда и только тогда, когда ((F1F2...Fn) G) общезначима.
Теорема 2. Пусть даны формулы F1,F2,...,Fn и формула G. Тогда G есть логическое следствие F1,F2,...,Fn тогда и только тогда, когда (F1F2...FnG) противоречива.
Теоремы 1 и 2 очень важны. Из них вытекает: доказательство того, что отдельная формула есть логическое следствие конечного множества формул, эквивалентное доказательству того, что некоторая связанная с ними формула общезначима или противоречива. Если G есть логическое следствие формул F1,F2,...,Fn , то формула ((F1F2...Fn) G) называется теоремой, а G называется также заключением теоремы. В математике, так же, как и в других областях, многие проблемы могут быть сформулированы как проблемы доказательства теорем.
Рассмотрим примеры решения типичных упражнений и задач
1. Даны формулы логики высказываний: f1 (p q), f2 q, g p.
Показать, что G есть логическое следствие F1 и F2.
Решение. Метод 1. Используем метод истинностных таблиц, чтобы показать, что G истинна в каждой модели формулы (P Q)Q. (Когда интерпретация I удовлетворяет формуле F, I называется моделью F). Из табл.3.4 мы видим, что есть только одна модель для (P Q)Q, а именно {P,Q}.
Таблица9.4 - Истинностная таблица (P Q)Q и P.
-
P Q
P Q
Q
(P Q)Q
P
0 0
0 1
1 0
1 1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
Формула P истинна в этой модели. Таким образом, по определению логического следствия заключаем, что Р есть логическое следствие (P Q) и Q.
Метод 2. Используем теорему 1. Это может быть сделано просто путем расширения истинностной таблицы в табл.9.4, т.е. путем вычисления истинностных значений формулы ((P Q)Q) P. Табл.3.5 показывает, что ((P Q)Q) P истинна при всех интерпретациях.
Таблица 9.5 - Истинностная таблица для ((P Q)Q) P
-
P Q
P Q
Q
(P Q)Q)
P
((P Q)Q) P
0 0
0 1
1 0
1 1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
Следовательно, ((P Q)Q) P общезначима и, согласно теореме 1, P есть логическое следствие (P Q) и Q.
Мы можем также доказать общезначимость формулы путем преобразования ее в конъюнктивную нормальную форму:
((P Q)Q) P=((P Q)Q)P=
=((PQ)Q)P=((PQ)(QQ))P=
=((PQ)Л)P=(PQ)P=(PQ)P=
=Q (PP)=QU=U.
Таким образом, ((P Q)Q) P общезначима.
Метод 3. Используем теорему 2. В этом случае мы докажем, что формула ((P Q)Q)((P))=(P Q)QP противоречива. Как и в методе 2, можно использовать метод истинностных таблиц, чтобы показать, что (P Q)QP ложна в каждой интерпретации. Из табл.11.6 мы заключаем, что (P Q)QP противоречива и, согласно теореме 2, P есть логическое следствие формул (P Q) и Q.
Таблица 9.6 - Истинностная таблица для (P Q)QP
-
P Q
P Q
Q
(P Q)QP
0 0
0 1
1 0
1 1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
0
Мы можем также доказать противоречивость формулы (P Q)QP путем ее преобразования в дизъюнктивную нормальную форму:
(P Q)QP=(PQ)QP=(PQP)(QQP)=
=(ЛQ)(ЛP)=ЛЛ=Л. Таким образом, (P Q)QP противоречива.
2. Покажем применение логики высказываний при решении задач в словесной формулировке. Допустим, что если конгресс отказывается принять новые законы, то забастовка не будет окончена, если только она не длится более года и президент фирмы не уходит в отставку. Закончится ли забастовка, если конгрес отказывается действовать и забастовка только что началась?
Решение. Сперва преобразуем утверждения в символы:
Р: Конгресс отказывается действовать.
Q: Забастовка оканчивается.
R: Президент фирмы уходит в отставку.
S: Забастовка длится более года.
Тогда факты, данные в примере, могут быть представлены следующими формулами:
F1: (P (Q(RS))) Если конгресс отказывается принять новые законы, то забастовка не будет окончена, если она не длится более года и президент фирмы не уходит в отставку.
F2: P Конгресс отказывается действовать.
F3: S Забастовка только что началась.
Можно ли заключить из фактов F1, F2 и F3, что забастовка не будет окончена, т.е. можно ли показать, что Q есть логическое следствие F1, F2 и F3? По теореме 1 это эквивалентно тому, что ((P (Q(RS)))PS) Q общезначимая формула. Истинностные значения указанной формулы при всех интерпретациях приведены в табл. 9.7.
Таблица 9.7 - Истинностная таблица для (F1 F2 F3) Q,
где F1 (P (Q(RS))), F2 Р, F3 S
P |
Q |
R |
S |
F1 |
F2 |
F3 |
Q |
(F1F2F3) Q |
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 |
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 |
0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 |
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 |
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 |
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 |
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 |
1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 |
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 |
Из табл 9.7 видно, что не существует интерпретации, при которой данная формула ложна. Следовательно, формула ((P (Q(RS)))PS) Q общезначима. Поэтому Q есть логическое следствие F1,F2 и F3, т.е. мы можем получить заключение Q из F1,F2 и F3. Следовательно, забастовка не будет окончена.
Из приведенных примеров видно, что логика высказываний может применяться ко многим задачам. Метод состоит в том, чтобы сначала записать задачи формулами, а затем доказать, что формулы общезначимы или противоречивы. Процедуру доказательства противоречивости формулы путем ее преобразования в ДНФ и получение противоречивой формулы (Л) иногда называют методом умножения, потому что процесс преобразования очень похож на раскрытие скобок в произведении сумм.
Мы показали использование метода истинностных таблиц и метода умножения для доказательства общезначимости (или противоречивости).