Рябова Н.В. Конспект лекций по дисциплине «Методы и системы искусственного интеллекта»

для студентов направления Компьютерные науки, специальность «Системы искусственного интеллекта»

2012/2013 уч.г.

Лекции № 5-6

Тема: ЯЗЫК ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ. Формализация фраз естественного языка средствами логики высказываний

В данной теме ознакомимся с приемами формализации сложных высказываний, интерпретацией формул логики высказываний и построением истинностных таблиц.

Математическая логика рассматривает языки, основная цель которых-обеспечить символизм (систему формальных обозначений) для рассуждений, встречающихся не только в математике, но и в повседневной жизни. Простейшей математической логикой является логика высказываний (ЛВ), более общей системой - логика предикатов (ЛП) или логика первого порядка. Высказывание - это повествовательное предложение, которое может быть либо истинным, либо ложным, но не тем и другим одновременно. Примеры высказываний: ”Снег белый”, ”Сахар  углеводород”. ”Истина” или ”Ложь”, приписанная некоторому высказыванию, называется истинностным значением этого высказывания. Обычно обозначают “истину” через 1, ”ложь” - через 0. Высказывания могут обозначаться таким образом: P Снег белый; Q Сахар  углеводород.

Символы P и Q и т. д., которые используются для обозначения высказываний, называются атомарными формулами или атомами. Из атомарных высказываний строят составные (сложные) высказывания, используя пять логических связок: (не), отрицание; (и), конъюнкция (а, но, а также); (или), дизъюнкция; (если, ..., то), импликация; (тогда и только тогда, когда), эквиваленция. Иногда может употребляться связка (или ... или), строгая дизъюнкция или сложение по модулю 2 (mod2). Эти связки можно использовать для построения все более сложных составных высказываний путем повторного применения связок к уже имеющимся высказываниям.

В ЛВ правильно построенные формулы (ППФ) определяются рекурсивно следующим образом :

1) атом есть формула (P,Q,....);

2) если P-формула, то ( ) -также формула;

^{3) если P и Q  формулы, то также}

формулы;

4) никаких формул, кроме порожденных применением указанных выше правил, нет.

^{Например, это не формулы. Можно обходиться без} некоторых скобок в формулах, приписывая убывающий ранг пропозициональным (логическим) связкам в следующем порядке:

и требуя, чтобы связка с большим рангом всегда имела большую область действия.^{. Таким образом, означает} Пусть G и H  две атомарные формулы. Тогда истинностные значения формул ^{связаны с истинностными значениями} формул G и H так, как это показано в табл. 9.1:

Таблица 9.1 - Истинностные значения для , , , , ,

G H
0 0	1	0	0	1	1	0
0 1	1	1	0	1	0	1
1 0	0	1	0	0	0	1
1 1	0	1	1	1	1	0

Основываясь на этой таблице, удобно описывать способы вычисления истинностных значений формулы по истинностным значениям атомов, входящих в эту формулу.

^{Например, для формулы имеем: пусть Р=1,Q=0,R=0, тогда}

Приписывание истинностных значений атомам, входящим в формулу, называется интерпретацией формулы. Каждому из атомов можно приписать 0 или 1. Тогда, если в формуле имеется n атомов, то она имеет интерпретаций. Таблицу 9.1, в которой указаны истинностные значения формулы Р при всевозможных истинностных значениях атомов, встречающихся в Р, называют истинностной таблицей формулы Р.

Говорят, что формула Р истинна при некоторой интерпретации, тогда и только тогда, когда Р получает значение 1 в этой интерпретации, в противном случае говорят, что Р ложна при этой интерпретации. Формула ЛВ общезначима тогда и только тогда, когда она истинна при всех возможных интерпретациях. Формула ЛВ противоречива (или невыполнима) тогда и только тогда, когда она ложна при всех своих интерпретациях. Формула непротиворечива (или выполнима) тогда и только тогда, когда она не является противоречивой.

Если формула F истинна при интерпретации I, то говорят, что I удовлетворяет F, или F выполнена в интерпретации I. С другой стороны, если формула F ложна при интерпретации I, то говорят, что I опровергает F, или F опровергается в I. Например, формула выполнена в ^{интерпретации но опровергается в интерпретации Когда интерпретация I удовлетворяет формуле F, I называется также моделью F.} Доказательство общезначимости или противоречивости формул  очень важная задача. В ЛВ ввиду конечности числа интерпретаций путем полного перебора всех возможных интерпретаций всегда можно решить, общезначима (противоречива) ли формула.

Рассмотрим примеры решения типичных задач и упражнений:

1. Формализовать средствами ЛВ предложение: ”Если влажность большая и температура высокая, то мы не чувствуем себя хорошо”.

Решение. Выделим в данном предложении атомарные высказывания :

Р Влажность большая;

Q Температура высокая;

C Мы чувствуем себя хорошо.

Тогда исходное предложение можно записать в виде составного высказывания: ^или .

^{2. Записать в виде формулы ЛВ следующую теорему: ”Если непрерывна на интервале I, и если то тогда на существует хотя бы одна точка такая,что}

Решение. Выделяем атомарные высказывания:

^{X непрерывна на интервале I;}

^Y

^Z

^{T на существует хотя бы одна точка ;}

^K

Формула данного сложного высказывания запишется:

3. Заполните истинностную таблицу для формулы ЛВ:

^G

Решение. Атомы этой формулы  Р и Q. Следовательно, формула имеет интерпретации. Истинностные значения G при всех ее интерпретациях приведены в табл.9.2.:

^{Таблица 9.2 - Истинностная таблица для}

P Q
0 0	1	0	1
0 1	1	0	1
1 0	0	0	1
1 1	1	1	1

Как видим, формула G истинна при всех интерпретациях, т.е. общезначима. Такую формулу еще называют тавтологией.