§ 7. Выбор картографических проекций

При создании любых карт или их комплексов важное зна­чение имеет вопрос о выборе или изыскании картографических проекций, обеспечивающих возможность оптимального решения по этим картам различных задач.

Выбор картографических проекций зависит от многих факто­ров. Разделим их на три группы.

К первой группе относятся факторы, характеризующие объект картографирования. Это географическое положение изображаемой территории, ее размеры, форма (конфигурация),

28

29

значимость и степень показа смежных с картографируемой об­ластью территорий.

Вторая группа включает факторы, характеризующие созда­ваемую карту, способы и условия ее использования. В эту группу входят назначение и специализация, масштаб и содер­жание карты, задачи, которые будут решаться по ней (карто-метрические, навигационные и пр.), и требования по точности их решения, способы использования карты (настольная, настен­ная), анализа картографической информации (с помощью ЭВМ или без нее), условия работы с картой (отдельно, в комплексе, в склейке), условия передачи на них относительных характе­ристик (географического положения территорий, их площадей и форм), требования по отображению коммуникаций и связи территорий и т. п.

К третьей группе относятся факторы, которые характери­зуют получаемую картографическую проекцию. Это характер искажений, условия обеспечения минимума искажений и допу­стимые максимальные искажения длин, углов и площадей, ха­рактер их распределения, кривизна изображения геодезической линии, локсодромии, условия изображения других линий поло­жения, стереографичность проекции (степень передачи форм территории), кривизна изображения линий картографической сетки, требования их ортогональности, обеспечения заданных величин отклонений от прямого угла между изображениями ме­ридианов и параллелей, их равноразделенности, характер изоб­ражения полюсов, условия симметричности картографической сетки относительно среднего меридиана и экватора, условия их изображения (размеры изображения экватора относительно среднего меридиана и полюсов, если они изображаются лини­ями), условия зрительного восприятия изображения, наличия эффекта сферичности, перекрытий (повторяемости) участков картографического изображения и т. п.

Выбор картографических проекций осуществляется в два этапа:

а) на первом этапе устанавливается совокупность проек­ ций (или их свойства), из которой целесообразно производить их выбор;

б) на втором — определяют искомую проекцию. Указанные выше факторы по-разному влияют на решение

данной задачи.

Все факторы первой группы, как правило, должны считаться твердо заданными. Их учет предполагает, прежде всего, выбор таких проекций, в которых их центральные точки и централь­ные линии, вблизи которых масштабы мало изменяются, нахо­дятся в центре картографируемой территории, а центральные линии располагаются по направлению наибольшего распрост­ранения этих территорий.

Поэтому для многих карт выбирают:

— цилиндрические проекции, когда территория расположена

вблизи экватора и симметрична относительно его и когда тер­ритория вытянута по долготе;

• конические проекции для изображения таких же терри­торий, но не симметричных относительно экватора, или для территорий, расположенных в средних широтах;

• азимутальные проекции для изображения полярных обла­стей и территорий с округленными очертаниями.

Таким образом, учет факторов этой группы дает возмож­ность в предварительном порядке установить совокупность про­екций (или их свойств), из которой целесообразно определять искомую проекцию.

Вторая группа факторов является основной при выборе Kapj тографических проекций. Исходя из требований и условий этой группы факторов, определяют относительную значимость фак­торов третьей группы, т. е. какие из требований в данном конк­ретном случае наиболее существенны, а какие из них можно не учитывать. Некоторые требования в определенных случаях подлежат безусловному учету. Например, желаемый характер искажений проекции, максимально допустимые искажения (в пределах данной территории), изображение полюсов, сим­метричность или асимметричность картографической сетки, равноразделенность меридианов и параллелей, наличие пере­крывающихся частей изображения и т. п. Это значит, что вы­бор проекции должен выполняться в данном случае только из совокупности проекций, в которой заданные требования полно­стью удовлетворяются (например, только из равновеликих про­екций или только из проекций с ортогональной сеткой и т. п.). Таким образом, факторы, приобретающие в данном конкрет­ном случае безусловную значимость, в дополнение к факто­рам первой группы позволяют в основном решить первую часть задачи — установить совокупность проекций (или их свойства), из состава которой целесообразно определять искомую про­екцию.

После выделения факторов, подлежащих обязательному учету, выполняется ранжировка (иерархия) всех прочих факто­ров, определяется относительная значимость каждого из них при решении задачи выбора конкретной проекции.

Окончательная ранжировка требований (факторов) к кар­тографическим проекциям, определение их относительной зна­чимости, как и окончательное решение вопросов о масштабе создаваемой карты и характере искажений проекций, осуществ­ляется для каждой из них или их комплекса только после уточнения факторов второй группы, установления их относи­тельной значимости.

На основе решения этой задачи и формализации требований к картографическим проекциям формируется обобщенный кри­терий оценки достоинств картографических проекций в каждой точке, который может быть вариационного или минимаксного типов.

30

31

Вопросы разработки таких критериев рассматриваются в ма­тематической картографии. В каждом конкретном случае в дан­ный обобщенный критерий будут включаться свои требования. Например, при создании карт, для которых выбранная картогра­фическая проекция обеспечивает возможность выполнения кар-тометрических измерений повышенной точности, предельные величины искажений, при которых еще можно не учитывать их влияние, не должны превышать: длин и площадей до ±0,2—0,4 %, углов —до 15—30'.

Для таких случаев обобщенный критерий оценки достоинств проекции можно представить в виде

где Ри Р₂, Рз, Ра — веса значимости требований (факторов), которые можно установить по своему усмотрению или исходя из тех или иных соображений; а_э, Ь_э — экстремальные частные масштабы длин, определяемые по формулам математической картографии [9];

/-Г— 1V , (Аэ&э— I)², — [(Оэ — I)² + (Ьэ — I)²] — величины, ха- \ о_э J 2

рактеризующие соответственно искажения углов, площадей и длин в точках проекции; к_г._л.ср — средняя кривизна изображе­ния геодезической линии (вдоль меридианов и параллелей), которую можно определить по формуле

(3)

где r = N cos В; М, N — радиусы кривизны меридианного сечения и сечения первого вертикала; т, п — частные месштабы длин; i — угол между изображениями меридианов и параллелей на проекции; п_в, m_L, i_B — соответствующие частные производные.

В предлагаемых обобщенных критериях требования к кар­тографическим проекциям представляются в формализованном виде и в относительных величинах, что дает возможность со­поставления и одновременного учета самых разнообразных тре­бований к проекциям.

Каждый из этих обобщенных критериев дает характеристику проекций в каждой точке. В целом для данной карты лучшей проекцией будет та, в которой принимает наименьшее значение

32

в пределах всей изображаемой области один из функционалов вида:

(4)

где е² — выбранный выше соответствующий обобщенный крите­рий оценки достоинств картографической проекции.

Для определения функционала Е² достаточно разбить изо­бражаемую область на малые участки, в средних точках каж­дого участка вычислить значения обобщенного критерия е² и найти

(5)

где п — число участков.

Выполнив с учетом выбранного обобщенного критерия срав­нительный анализ картографических проекций (из числа уста­новленной выше их совокупности), определяют искомую про­екцию.

В том случае, когда ни одна из известных картографических проекций не удовлетворяет в достаточной мере предъявляемым к ней требованиям, следует решить задачу изыскания соответ­ствующей новой проекции (с использованием полученного обоб­щенного критерия). При этом предварительно необходимо вы­яснить возможность существования такой проекции.

Выбор картографических проекций и других элементов ма­тематической основы следует начинать с анализа ранее создан­ных аналогичных карт и их математической основы, а затем проекций, рекомендуемых в атласах для выбора картографиче­ских проекций. При этом полезно воспользоваться рекоменда­циями и дополнительными сведениями, данными в руководст­вах, учебниках по математической картографии и других по­собиях для выбора картографических проекций.

Рассмотренная методика выбора картографических проек­ций может с успехом быть использована в случаях, когда ре­шение этой задачи, как и построение всей математической ос­новы и содержания карты, осуществляется в автоматическом режиме с применением ЭВМ и всех необходимых внешних уст­ройств, а также в случаях, когда отсутствуют аналитические комплексы (§ 25).