18. Перестановки и сочетания

4. Перестановки

4.1. Сколькими способами можно сформировать очередь из 5 человек?

4.2. Каков будет ответ в задаче 3.3, если студентов 20?

4.3. Каков будет ответ в задаче 3.4, если стульев 7?

4. (Обобщение). Сколькими способами элементы n- элементного множества А можно расположить в цепочку?

Ответ: Р_n=n(n-1)…1=n! - число перестановок из n.

5. Сочетания без повторений

5.1. В шахматном турнире участвует 10 человек. Сколько партий должно состояться, если каждая пара игроков должна встретиться один раз?

5.2. Из колоды, содержащей 36 карт, игрок получает 6 штук. Сколько различных наборов карт он может получить?

5.3. Каков ответ в задаче 3.2, если все призы одинаковые?

5.4. Каков ответ в задаче 3.4, если все стулья одинаковые?

5. (Обобщение). Сколько различных m- элементных подмножеств содержится в n - элементном множестве?

Ответ:

- число сочетаний из n по m. Числа С_n^m иначе называются биноминальными коэффициентами.

Указание: Каждое сочетание расщепляется на P_m размещений.

6. Свойства биномиальных коэффициентов

, mn

Принимая во внимание, что 0!=1 из определения получим

, .

Свойства биномиальных коэффициентов

1.

2.

3.

Бином Ньютона

Доказательство методом полной математической индукции

Для m=1

Индукционный переход

(заменим в первой сумме n на n'=n+1)

(согласно свойству 2)

,

что и требовалось доказать.

6.3. Треугольник Паскаля есть таблица, составленная так:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

Каждое число равно сумме двух, стоящих над ним(считаем, что на пустых местах стоят нули). Как найти m число в n строке?

7.Разбиения множества.

C_n – это фактически число способов, которыми можно n – элементное множество разбить на два подмножества – одно из m элементов, а второе – из (n-m) элементов.

7.1.Из группы в 25 человек 12 человек необходимо направить на практику на одно предприятие, 10 – на второе, а 3 – на третье. Каким числом способов это можно сделать?

7.2.Имеется 4 предмета 1 типа, 3 – второго, 5 – третьего. Сколько существует различных перестановок этих предметов?

7.3.(Обобщение).n элементов надо разбить на m групп пак, чтобы в первой было r₁, во второй - r₂,…,в m - r_m элементов.

Сколькими способами это можно сделать? (r₁+…+r_m = n).

Ответ: n!/r₁! … r_m!.

8.Сочетания с повторениями.

8.1.В магазине продаются конфеты двух видов. Сколькими способами можно купить четыре конфеты? А если надо купить 8 конфет 4 видов?

8.2.Каков будет ответ в задаче 2.4, если стулья одинаковые?

8.3.Сколько целых неотрицательных решений имеет уравнение

х₁+х₂+х₃+х₄+х₅+х₆+х₇ = 5? (Сравните с задачей 8.2).

8.4.Сколько существует различных r – элементных множеств, составленных из предметов n видов?

Ответ: C^r_n+r-1

19. Булева алгебра, элементарные функции (0-5)

20. Булева алгебра, элементарные функции (6-11)

		f3	f4	f5	f6	f7	f8	f9	f10	f11
0	0	0	0	0	1	1	1	1	0	1
0	1	0	1	1	0	1	1	0	0	1
1	0	0	1	1	0	0	1	0	1	0
1	1	1	1	0	1	1	0	0	1	0

f₃ - называется конъюнкция

f₄ - дизъюнкция

f₅ - сложение по модулю 2

f₆ - эквиваленция (когда )

f₇ - импликация

из правды  правда, из лжи  правда/ложь

f₈ - штрих Шеффера, (антиконъюнкция, не-и)

f₉ стрелка Пирса, антидизъюнкция, функция Вебба, не или