2. Ткаченко і.С., Ткаченко в.А. Вища школа: моделювання вибору

пріоритетного інваріанту. — Тернопіль: Економічна думка, 2000. — 33-39 c.

Побудова економіко-математичних моделей гнучкого управління ринком праці.

Найбільшого поширення при побудові оптимізаційних кадрових моделей

отримали лінійне програмування та його узагальнення. У канонічному вигляді задача лінійного програмування формулюється наступним чином:

Ax = b,x ≥ 0

max(min)cx

Тут:

x — вектор-стовпчик змінних управління, значення яких потрібно визначити (компонентами вектора x можуть виступати змінні призначення

працівника на той чи інший вид робіт; обсяги прийому працівників, просування із одного стану в інший, скорочення; змінні переукомплектування або недоукомплектування персоналом окремих станів і т. п.);

A — матриця коефіцієнтів обмежень і балансових співвідношень задачі;

b — вектор-стовпчик правих частин обмежень. Критерієм оптимальності

рішень може бути максимізація сумарного ефекту або мінімізація витрат на

ринку праці.

Кадрові моделі лінійного програмування можна поділити на статичні і динамічні. Статичні моделі використовуються, наприклад, у класичній моделі про призначення, при проектуванні бажаного кадрового профілю організації і ін. Але у задачах планування кадрів в організації більший практичний інтерес викликають динамічні багатоперіодні моделі. Ядром моделі в цьому випадку є сукупність балансових співвідношень, що характеризують зв’язки між кількостями працівників у різних кваліфікаційних станах і потоками осіб з одного стану в інший. Переходи осіб між різними кваліфікаційними станами можуть бути представлені у моделі різними способами:

1) за допомогою марківської перехідної матриці, вкладеної у матрицю коефіцієнтів задачі ( a (t) ij є тоді часткою осіб у стані i , які перейдуть до стану j протягом періоду t );

2) у вигляді керованих потоків (потік осіб f (t) ij із стану i до стану j

протягом періоду t у цьому випадку входить до складу вектора

змінних керування x ).

Сформулюємо наступну модель динамічного планування прийому з

вкладеним ланцюгом Маркова:

n(t +1)= P′n(t)+ R(t),t = 1,...,T; (14)

n(t) ≥ n*(t),t = 2,...,T; (15)

n(T +1) = n*(T +1); (16)

0 ≤ R(t) ≤ R*(t),t = 1,...,T. (17)

c . (18)

Тут:

n(t) — вектор-стовпчик середніх кількостей працівників у різних станах

протягом періоду часу t , t = 1,...,T +1 (вектор n(1) вважається заданим);

P — матриця коефіцієнтів переходу, яка визначається звичайним чином;

R(t) — вектор-стовпчик середніх кількостей працівників, яких приймають

до різних станів на протязі інтервалу (t,t +1), (облік знову прийнятих у цьому

інтервалі відбувається на момент часу t +1).

Компонентою i c вектор-рядка c є середньорічна заробітна плата працівника

у стані i (i = 1,...,k). Вектор-стовпчик n*(t) задає нижні межі потреби у

працівниках у кожному стані, вектор-стовпчик R*(t) — верхні межі для

допустимого прийому до кожного стану. Наведена модель являє собою задачу

лінійного програмування, яка у випадку сумісності системи обмежень може

бути розв’язана звичайними методами (симплексним методом).

Сформулюємо тепер у загальному вигляді систему обмежень задачі, яка

характерна для другого підходу. З метою спрощення розглянемо кадрову

систему зі строгою ієрархією станів. Нехай:

S (t) i — доля працівників, які залишаються у стані i протягом періоду

t,i = 1,...,k;t = 1,...,T ;

p (t) i — доля працівників, які переходять зі стану i до стану i +1 протягом

періоду t = 1,i = 1,...,k ;

f (t) i — потік працівників, які переходять зі стану i до стану i +1 протягом

періоду t,i = 1,...,k,t = 2,...,T ;

R(t) — потік осіб, яких приймають до організації протягом періоду

t,t = 1,...,T ;

r (t) i — доля осіб, яких приймають до стану i , для ∀t ). Позначимо і покладемо f (1)= (1),… (1))'.

Нехай n(t) =( (t),… (t)), S(t)=diag{ (t),… (t)},

Звідки видно, що це матриця?

-1 0 0 … 0 (t)

1 -1 0 … 0 (t)

A(t)= 0 1 -1 … 0 (t) , t=2,….,T,

… … … … … …

0 0 0 … -1 (t)

0 0 0 … 1 (t)

а матриця A(1) має ту ж структуру, що і A(t), але в кожному i -му її рядку

замість 1 стоїть (1) i−1 n , замість –1 — (1) i n . Тоді балансові співвідношення задачі запишуться наступним чином:

A(t) f (t)+ S(t)n(t)− n(t +1) = 0,t = 1,...,T . (19)

В задачу може бути введено ряд додаткових обмежень. Розглянемо три

групи таких обмежень:

1) обмеження, що відтворюють бажані властивості розподілу персоналу

між станами (наприклад, допустимі співвідношення чисельностей

працівників у різних станах і т.д.). Їх можна записати як

(t)n(t) = b1*(t), t=2,…,T+1; (20)

2) обмеження на потоки, які можуть вміщувати як обмеження структурного типу, так і прохідні за часом обмеження, що вимагають, наприклад, стійкості перспектив просування працівників і т.п.

= *; (21)

3) бюджетні обмеження. Сюди віднесені загальні обмеження на фонд заробітної плати працівників, а також обмеження, що регулюють структуру витрат цього фонду. Позначимо В3(t) матрицю, елементами якої є середньорічні ставки заробітної плати співробітників у різних станах, а також ставки, помножені на структурні коефіцієнти, і

запишемо

(t)n(t)= *(t),t=2,…, T+1; (22)

Не зупиняючись на питанні вибору єдиного критерію оптимальності для даної задачі, зауважимо, що у більшості практичних ситуацій планування кадрів в організації носить багатоцільовий напрямок. Крім того, ряд виникаючих при цьому обмежень може мати протирічливий характер. Одним з методів, які застосовуються в таких випадках, є цільове програмування. При цьому фіксується ряд цілей (співвідношення кількості працівників у різних станах, коефіцієнти просування, розміри прийому, витрати фонду заробітної

плати і т.п.), що розглядається як обмеження, які необхідно виконувати в межах інтервалу, що задовольняє особу, яка приймає рішення (ОПР). Цільовою функцією є мінімізація зваженої суми відхилень від визначених цілей у відповідності з пріоритетами, визначеними ОПР.

Найпростіший варіант моделі цільового програмування є модифікація звичайної задачі лінійного програмування:

Ax + − = ,x ≥ 0, , ≥ 0 ; (23)

min( ).

Де:

b* — вектор-стовпчик фіксованих цілей;

y+ ,y− — вектор-стовпці допоміжних змінних, що характеризують

відхилення від визначених цілей;

c+ ,c− — вектор рядки ненегативних вагів (штрафні коефіцієнти) пов’язаних

із цілями.

Необхідно відмітити, що у розв’язку даної задачі для всякого i –го обмеження, у крайньому випадку, одна із змінних + i y або − i y буде дорівнювати нулю, оскільки ваги мінімізованої цільової функції не негативні.

Модель з керованими потоками запишемо тепер у вигляді задачі цільового

програмування:

A(t) f (t)+ S(t)n(t)− n(t +1) = t = 1,...,T ; (24)

t )n (t )− ++ = (t),t=2,…,T+1; (25)

- + = ; (26)

(t)n(t)- + = , t=2,….,T+1 (27)

min . (28)

Тут (i = 1,2,3) — вектор-стовпці змінних, що характеризують позитивніі негативні відхилення від визначених цілей; коефіцієнти i M (i = 1,2,3) ранжирують групи цілей, а вектор-рядки i δ (i = 1,...,6) вміщують вагові коефіцієнти, які визначають внутрішньогрупові пріоритети цілей. Нехай, наприклад, 1-й групі цілей приписується більш високий пріоритет у порівнянні із 2-гою, а обидві ці групи цілей вторинні за важливістю відносно загального бюджетного обмеження системи. Вважається, що обмеження у негативну сторону від бюджетної межі не є небажаними, а відхилення у позитивну і негативну сторони для перших двох груп цілей рівноцінні. Тоді цільова функція задачі набуває вигляду:

min { + ( ) + ( )]} (29)

де >> і >>>

У відповідності за вищезазначеним, розв’язок завдання керування кадрами

методом цільового програмування має ряд переваг у порівнянні з розв’язанням таких задач за допомогою лінійного програмування. Цільове програмування дає можливість формулювати варіанти опосередкованих цілей, не проводячи їх кількісного зваження, а лише встановлюючи їх пріоритети. Це дозволяє проводити порівняння конфліктуючих і вимірюваних в різних шкалах цілей. В процесі роботи з розглянутою моделлю цільового програмування перевіряється вплив структури цільових показників на розв’язок задачі, змінюючи їх склад і пріоритети відносної важливості і в межах допустимих відхилень. У цільовому програмуванні можливий ряд інших підходів, відмінних від зазначеного. Одні із них — цільове програмування із багатокритеріальною функцією — застосовується при розв’язанні задачі про призначення посадових ставок в ієрархічній організації. Суть задачі полягає в тому, щоб при наявності конфліктуючих внутрішніх і зовнішніх обмежень спроектувати структуру посадових ставок, яка сприяла б закріпленню кваліфікованого персоналу в організації. При такому підході, на відміну від розглянутої вище процедури мінімізації зваженої суми змінних відхилень записуються як окремі цілі.

Отримана в результаті багатокритеріальна задача вирішується за допомогою інтерактивної процедури, яка ґрунтується на понятті ідеальної точки і з використанням чебишевської метрики для дослідження альтернатив у просторі критеріїв.

Нехай:

(x − k )-мірний вектор-стовпчик змінних керування;

(x) — i -та критеріальна функція, i =1,...,m, q(x)=( (x),…, (x));

— множина допустимих векторів x ;

- множина досягненості у просторі критеріїв;

Π — паретівська межа множини досягнутості;

Λ={λ∈ |λ≥0, =1}. (30)

Для простоти будемо вважати, що всі критеріальні функції повинні бути

максимізовані, і позначимо = ,…, ) ідеальний критеріальний вектор:

=max{ |x∈ }+ , i=1,…, m; (31)

де — досить малі позитивні скаляри. Сформулюємо наступну

лексикографічну задачу:

lex min { , } (32)

за умов ≥ λw’; w= -z; = (x), i=1,….,m; x⋲ ; 0⩽𝛼⋲ R , 0⩽ w, >>> .