28.Марчук г.І. Математичні моделі у імунології / м.,1994. С.15-16

У другій половині двадцятого століття значне поширення отримала така супутня медицині наука як імунологія. Успіхи, досягнуті в імунології, надають пряме впливом геть методи лікування, протягом усього клінічну практику до медицини. Проблеми імунології тісно пов'язані з вадами лікування (післяопераційне загоєння ран, трансплантація органів, ракові захворювання, алергії і імунодефіцити).

На цей час клініцистами і імунологами накопичено колосальний матеріал спостережень за течією різних інфекційних захворювань, і з урахуванням аналізу цієї статті отримані фундаментальні результати ,що стосуються механізмів взаємодії антигенів і антитіл різному рівні деталізації: від макроскопічного до внутрішньоклітинного генетичного .Ці результати дозволили підійти побудувати математичних моделей імунних процесів. У підготовці цього реферату було використано матеріали монографії Г.И.Марчука «Математичні моделі у иммунологии»,в частковості, найпростіша математична модель захворювання, яка розглядатися далі. Найпростіша математична модель буде побудовано з урахуванням співвідношення балансу кожного з компонентів що у імунному відповіді. Саме через такий концепції приватні особливості функціонування імунної системи не виявляються суттєвими для аналізу динаміки хвороби, але в першому плані виступають основні закономірності перебігу захисної реакції організму. Тому, за побудові математичну модель ні різнитися клітинні і гуморальные компоненти імунітету, що у боротьби з антигенами, проникшими у організм. Лише зробимо припущення, що такими компонентами організм має. Вони нібито будуть названі антитілами, незалежно від цього, чи маємо ми працювати з клеточно-лимфоидной системою імунітету чи з гуморально-иммуноглобулиновой. У цьому моделі передбачається також, що організм має достатніми ресурсами макрофагів, утилізують продукти імунної реакції, і навіть інших неспецифічних чинників, необхідні нормально функціонувати імунної системи . У зв'язку з цим ми обмежимося розглядом трьох компонентів : антигену антитіла і плазматичної клітини , що виконує антитіла. Як антигенів тут виступатимуть патогенні бактерії, або віруси. Слід зазначити, що з захворюванні велике значення має тут ступінь поразки органу, підданого атаці антигенів, оскільки до остаточному підсумку призводить до зниження активності імунної системи. Це, природно, має вказуватися в математичних моделях.

Отже, вважатимемо, що діючими чинниками інфекційного захворювання є такі величини.

1) Концентрація патогенних розмножуються антигенів V(t).

2) Концентрація антитіл F(t).

3) Концентрація плазматичних клітин C(t).

4) Відносна характеристика враженого органу m(t).

Переходимо побудувати рівнянь моделі. Перше рівняння буде описувати зміна числа антигенів в організмі:

                                             dV= Vdt- FVdt. (2.1)

 Перший член у частині цього рівняння описує приріст антигенів dV за інтервал часу dt з допомогою розмноження .Природно, що він пропорційний V і деякому числу , яке називатимемо коефіцієнтом розмноження антигенів . Член FVdt описує число антигенів, нейтралізующих антитілами F за інтервал часу dt .У насправді, число таких вірусів, очевидно,будет пропорційно як кількості антитіл в організмі, і кількості антигенів; -коефіцієнт, пов'язаний з ймовірністю нейтралізації антигену антитілами під час зустрічі ним. Розділивши співвідношення (2.1) на dt одержимо:

                                                dV/dt=( F)V.

Друге рівняння буде описувати зростання плазматичних клітин.

                                  dC= F(t- )V(t- V(t- dt-u(C-C*)dt. (2.2)

Перший член правої частини-генерація плазмоклітин, час протягом якого здійснюється формування каскаду плазматичних клітин, коефіцієнт,враховующий ймовірність зустрічі антиген-антитіло, порушення каскадної реакції і кількість які виникають нових клітин. Другий член у другий формулі описує зменшення кількості плазматичних клітин з допомогою старіння, u-коефіцієнт,дорівнює зворотної величині їх часу життя. Розділивши співвідношення (2.2) на dt, дійшли до рівняння :

                                dC/dt= F(t- )V(t- V(t- u(C-C*).

Для отримання третього рівняння підраховують баланс числа антитіл, реагують з антигеном.Виходять з співвідношення:

                                 dF=pCdt- FVdt-ufFdt. (2.3)

pCdt-генерация антитіл плазматичними клітинами за интевал часу dt, p-скорость виробництва антитіл однієї плазматичної клітиною, FVdt-описує зменшення кількості антитіл в інтервалі часу dt з допомогою через відкликання антигенами . ufFdt- зменшення популяції антитіл з допомогою старіння, де uf - коефіцієнт,зворотно пропорційний часу розпаду антитіл. Розділивши (2.3) на dt одержимо:

                                 dF/dt=pC-(uf+ V)F.

Введем в розгляд рівняння для відносної характеристики показники органу-цілі. М-характеристика здорового органа. М*-відповідна характеристика здорової частини враженого органу Вводимо в розгляд величину m за такою формулою:

                                  m=1-M*/M

Для непораженного органу ,m дорівнює нулю,для повністю враженого –одиниці.Для цієї характеристики розглянемо рівняння(четверте рівняння):

                                 dm/dt= V-um

Перший член правій частині характеризує ступінь поразки органу. V-кількість антигенів, де -деяка константа ,своя кожному за захворювання. Зменшення цієї характеристики відбувається поза рахунок відновлювальної діяльності організму.

Зрозуміло, що з сильному поразку життєво важливих органів продуктивність вироблення антитіл падає. Це є фатальним для організму, що веде до смерті. У нашій моделі чинник поразки життєво важливих органів можна врахувати в рівнянні (2.2), замінивши коефіцієнт на (m).

     Крива в інтервалі 0<=m<=m* дорівнює 1. Це означає, що працездатність імунологічних органів у тому інтервалі залежить від тяжкості хвороби. Однак далі їх продуктивність швидко падає. Отже, дійшли наступній системі нелінійних звичайних диференційних рівнянь:

                                  dV/dt=( F)V,

                                  dC/dt= F(t- )V(t- V(t- u(C-C*),

                                  dF/dt=pC-(uf+ V)F,

                                  dm/dt= V-um.

До системі рівнянь приєднують початкові дані при t=t0(V(t0), F(t0), C(t0), m(t0)).Полученную систему рівнянь назвемо  найпростішої математичної моделлю захворювання. Ця математична модель можна використовувати для інтерпретації клінічних досліджень.