1.2.2. Расчет плиты по предельным состояниям второй группы.

• Геометрические характеристики расчетного сечения.

Расчетное сечение таврового профиля с полкой в сжатой зоне. Бе­тон тяжелый класса В30, R_b ⁼ 17 МПа (17∙ 10³ кН/м²). Размеры сечения h=30 см, , ширина ребра b =14 см, , рабочая высота сечения ho = 27 см, (а = Зсм).

Площадь бетона

Коэффициент приведения

Площадь приведенного сечения:

≈0,09991м².

Статический момент приведенного сечения относительно нижней грани:

Расстояние от оси, проходящей через нижнюю грань продольного ребра до цен­тра тяжести приведенного сечения:

у₀ = 21757,3/999,1 = 21,8 см.

Момент инерции приведенного сечения относительно центра тяжести сечения:

Момент сопротивления приведенного сечения по нижней зоне:

W_red = J_red / у_о = 77031,16/21,8=3533,5 см³= 0,0035335 м³,

то же по верхней зоне:

W^|_red = J_red / (h-у_о)= 77031,16/(30-21,8) =9394 см³= 0,009394 м³,

Упругопластический момент для таврового сечения с полкой в сжатой зоне для расчетов в стадии эксплуатации при γ = 1,3

W_p1 = γ W_red =1,3∙3533,5=4593,55 см³ = 0,00459335 м³.

То же для таврового сечения с полкой в растянутой зоне для расчетов в стадии изготовления при: , коэффициент γ=1,15

W^/_p1 = γ W^/_red =1,15∙9394=10803,1 см³ = 0,0108031 м³.

Коэффициент γ определяется по таблице 11 приложения.

• Установление уровня предварительного натяжения арматуры.

Уровень предварительного напряжения для горячекатаной и термомеханически упрочненной арматуры назначается так, чтобы соблюдались условия:

σ_sp ≤ 0,9R_s,ser; σ_sp ≥ 0,3R_s,ser

Коэффициент точности натяжения арматуры (учет возможных отклонений) при определении потерь предварительного натяжения и расчетах по второй группе предельных состояний принимется равным γ_sp=l,0.

Предварительно назначим уровень преднапряжения 80% от R_sn

σ_sp =0,8R_sp=0,8∙800=640 МПа.

• Расчет потерь предварительного напряжения арматуры.

Расчет потерь производится в соответствии со СНиП при коэффициенте точно­сти натяжения арматуры у_sp = 1,0.

• Первые потери.

∆σ_sp1 - потери от релаксации напряжений в стержневой арматуре А800 при электротермическом способе натяжения

∆σ_sp1 = 0,03σ_sp = 0,03∙ 640 = 19,2 МПа,

∆σ_sp2 - потери от температурного перепада между натянутой арматурой и упорами не учитываются, так как форма пропаривается в пропарочной камере вместе с изделием, ∆σ_sp2=0,

∆σ_sp3 - потери от деформации формы при неодновременном натяжении арма­туры в расчетах не учитываются, так как уже учтены в расчете удлинений арма­туры, ∆σ_sp3=0

∆σ_sp4 - потери от деформации анкеров при электротермическом способе на­тяжения учтены в расчете полных удлинений арматурных стержней и поэтому равны нулю, ∆σ_sp4=0.

∆σ_sp5 -потери от усадки бетона.

Для бетонов В35 н ниже относительная деформация усадки бетона ε_b,sh= 0,0002

∆σ_sp5 = ε_b,sh ∙ Е_s = 0,0002 ∙ 20 ∙ 10⁴= 40 МПа.

∆σ_sp6 -потери от ползучести арматуры определяются по формуле:

Здесь

• коэффициент приведения ɑ = E_s /Е_b = 6,2;

• эксцентриситет силы обжатия P₁ относительно центра тяжести приведенного сечения е_sp= у_о -а =21,8 - 3 = 18,8 см =0,188 м;

• коэффициент армирования сечения (без учета ненапрягаемых стержней)

• μ_sp=A_sp/A=3,08/980=0,00314;

• коэффициент ползучести бетона φ_sp=2,3; находится по таблице 10 приложе­ния для бетона ВЗО и влажности 40-75%;

Первые потери преднапряжения равны:

∆σ_sp(1)= ∆σ_sp1+∆σ_sp2+∆σ_sp3+∆σ_sp4=19,2+0+0+0 = 19,2 МПа.

Начальное усилие обжатия с учетом первых потерь

P₁ = А_sp(σ_sp -∆σ_sp(1)) =3,08∙ 10^-4(640 - 19,2)10³ = 191,2 кН.

Максимальное сжимающее напряжение в бетоне при обжатии силой P₁ на уровне крайнего нижнего волокна, у = 0,188+0,03=0,218 м, без учета влияния собст­венного веса плиты:

Согласно /6/, передаточная прочность бетона R_bp назначается не менее 15 МПа и не менее 50% прочности от класса бетона. Принимаем R_bp= 15 МПа. Сжимаю­щие напряжения в бетоне от силы P₁ в стадии предварительного обжатия не должны превышать 90% от передаточной прочности R_bP

σ_bp=12,1 МПа < 0,9R_bp = 0,9∙15 = 13,5 МПа. Требование выполняется. Определим напряжения в бетоне с учетом разгружающих напряжений от веса плиты на уровне центра тяжести продольной арматуры, то есть, при у_о = е_ор = 0,188 м. Из таблицы 1 нагрузка от веса 1 м² плиты принята 2500 Н. Изгибающий момент от собственного веса плиты вычислен при расчетном пролете 1₀= 5,56 м.

кН∙м,

Вторые потери

∆σ_sp(2)= ∆σ_sp5+∆σ_sp6=40+66,25=106,25 МПа

Полные потери

∆σ_sp= ∆σ_sp(1)+∆σ_sp(2)=19,2+106,25=1125,45 МПа>100 МПа.

Принимаем полные потери

∆σ_sp= 125 МПа

Напряжения в напрягаемой арматуре после проявления всех потерь

σ_sp2= 640-125=515 МПа

Усилие обжатия с учетом полных потерь

Р₂ = 3,08∙10^-4(640 – 125)10³ ≈158,6 кН.

• Расчет трещиностойкости плиты

Исходные данные. Коэффициент надежности по нагрузке γ_f =1 и, соответст­венно, расчетный момент равен нормативному М_н =52,18 кНм, момент сопротив­ления приведенного сечения по нижней зоне W_red =3533,5 см³, W_pl=4593,55 см³, усилие обжатия с учетом полных потерь Р₂ = 158,6 кН, эксцентриситет силы обжа­тия е_ор= 0,188 м, r=W_red/A_red= 3533,5/999,1 = 3,54 см, напряжения в напрягаемой арматуре после проявления всех потерь σ_sp2= 515 МПа.

Условием необразования трещин является соблюдение условия:

M_n≤M_crc

Момент, соответствующий образованию трещин M_crc определяем по прибли­женному способу ядровых моментов:

M_n≤M_crc=R_bt,serW_pl+M_rp

где:

M_rp=P₂(е_ор +r)=158,6(0,188+0,0354)=35,43 кНм.

R_bt,ser ∙W_pl = 1,75 ∙10³∙4593,55∙10^-6= 8,04 кНм.

M_crc = 8,04+ 35,43= 43,47 кНм < М_н = 52,18 кНм.

Условие не выполняется, трещины в растянутой зоне образуются. Необходим расчет по раскрытию нормальных трещин.

• Ширина раскрытия нормальных трещин продольных ребер

Исходные данные. Предельная ширина раскрытия трещин а_crc,ult, для конст­рукций к которым не предъявляются требования непроницаемости, при арматуре А800, не должна превышать 0,2 мм при продолжительном раскрытии и 0,3 мм при непродолжительном раскрытии. Так как конструктивная ненапрягаемая арматура 2Ø8 В500, A_s =1,01см² в определении геометрических характеристик не учитыва­лась, то усилие Р₂ приложено в центре тяжести нижней арматуры, е_sp = 0,0; напря­гаемая арматура 2Ø14 А800; Asp = 3,08 см², Р₂=158,6 кН, изгибающие моменты от нормативных нагрузок: от полной нормативной нагрузки М_n = 52,18 кНм, от по­стоянной и длительной М_дл =45,04 кНм.

Расчет по раскрытию трещин производят из условия:

a_crc≤ a_crc,_uit

где a_crc е - ширина раскрытия трещин от внешней нагрузки, a_crc,_uit - предельно до­пускаемая ширина раскрытия трещин.

Ширина раскрытия трещин от внешней нагрузки вычисляется по формуле:

a_crc =φ₁ φ₂ψ_sσ_sl_s/E_s

Приращение напряжений в растянутой арматуре для прямоугольных, тавро­вых и двутавровых сечений разрешается принимать при z ≈ 0,7h_o, если выполня­ется условие a_crc≤ a_crc,_uit или определять по по формуле z = ζh_o, где коэффициент ζ принимется по таблице 20 приложения.

Ширина раскрытия трещин

от кратковременного действия всей нагрузки М_n = 52,18 кНм.

Для определения коэффициента ζ по таблице, находим дополнительные парапметры:

Коэффициентα_s1 для всех видов арматуры кроме канатной равен:

α_s1 =300/R_b,ser

Находим по таблице, что коэффициент ζ≈0,85

Z=ζho = 0,85∙0,27= 0,23 м.

Вычисляется эквивалентный момент от внешней нагрузки и усилия преднапряжения, причем знак плюс в формуле берется, если направления моментов сов­падают и минус, если направления противоположны

Ms= М± Ре_ор =52,18±0,0=52,18 кНм.

Приращение напряжений от полной нормативной нагрузки М_п = 52,18 кНм.

В расчетах учитываем продольную ненапрягаемую арматуру каркасов 2Ø8 В500

A_s=1,01см²

Проверяем условие

σ_sp2+ σ_s=515+166,9=681,9<R_s,ser=800МПа. Условие соблюдается.

• φ₁ - коэффициент, учитывающий продолжительность действия нагрузки:

φ₁= 1,0 при непродолжительном действии нагрузки,

φ₁ = 1,4 при продолжительном действии нагрузки

• φ₂- коэффициент, учитывающий профиль арматуры:

φ₂ = 0,5 для стержневой арматуры периодического профиля и канатов,

φ₂ =0,8 для гладкой арматуры,

• ψ_s- коэффициент, учитывающий неравномерность распределения деформаций растянутой арматуры между трещинами. Допускается принимать ψ_s =1, если выполняется условие a_crc≤ a_crc,_uit ,

• l_s - базовое расстояние между трещинами,

l_s=0,5A_btd_s/(A_sp+A_s), причем должны выполняться условия 10d_s≤l_s≤40d_s и 100мм≤l_s≤400мм

A_bt=ky_tb= 0,9∙0,114∙0,14 = 0,0144м³, где

y_t=S_red/(A_red+P₂/R_bt,ser)= 0,0217573/(0,0991+158,6/1,75∙10³) = 0,114 м.

d_s= (2∙14²+2∙8²)/(2∙14+2∙8) =11,82 мм,

l_s = 0,5∙0,0144∙0,0118/(3,08+1,01) ∙10^-4 =210 мм.

Базовая ширина раскрытия трещин должна удовлетворять условиям

10 d_s =10∙11,82=118,2 мм≤l_s =210мм≤40 d_s =40∙11,82=472,8 мм.

Окончательно принимаем l_s = 210 мм.

Раскрытие трещин от кратковременного действия полной нормативной нагрузки

a_crc2=φ₁φ₂ψ_sσ_s l_s/E_s= 1,0 ∙0,5 ∙1,0 ∙166,9 ∙10³ ∙0,21/20 ∙10⁷= 0,088 мм.

Ширина раскрытия трещин от кратковременного

действия длительной нагрузки.

Исходные данные. М_п,дл=45,04 кНм; φ_f=1,48; φ₁=1,0; φ₂=0,5; ψ_s=1; e_s= М_п,дл/P₂=0,284; e_s/h₀=1,22; µα_s1=0,15. По таблице 20 приложения ζ=0,85;z=0,85 ∙0,27=0,23;

Приращение напряжений от постоянной и длительной нормативной нагрузки

Ms= М± Ре_ор =45,04-0,0=45,04 кНм.

Ширина раскрытия трещин равна

a_crc3=φ₁φ₂ψ_sσ_s l_s/E_s=1,0 ∙0,5 ∙1,0 ∙91 ∙10³ ∙0,21/20 ∙10⁷= 0,048 мм.

Ширина раскрытия трещин при

продолжительном действии длительной

Исходные данные. М_п,дл=45,04 кНм; φ_f=1,48; φ₁=1,4; φ₂=0,5; e_s= М_п,дл/P₂=0,284; e_s/h₀=1,22; µα_s1=0,15; ζ=0,85; z=0,85 ∙0,27=0,23;

Ширина раскрытия трещин при φ₁=1,4:

a_crc1=1,4 ∙0,5 ∙1,0 ∙91 ∙10³ ∙0,21/20 ∙10⁷= 0,067 мм.

Итоговая ширина раскрытия трещин

• при непродолжительном действии нагрузки

a_crc= a_crc1+ a_crc2- a_crc3= 0,067+0,088-0,048 = 0,107 мм < a_crc,_uit= 0,3 мм,

• при продолжительном действии нагрузки

a_crc= a_crc1=0,067 мм< a_crc,_uit=0,2 мм.Условия выполняются.

• Расчет прогибов плиты

Расчет по прогибам производят из условия

f ≤ f_ult

Здесь f - прогиб от внешней нагрузки, f_ult- предельно допустимый прогиб.

Для элементов постоянного сечения, работающих как свободно опертые или кон­сольные балки, прогиб допускается определять по формуле

,

где - полная кривизна в сечении с наибольшим моментом.

Для участков с трещинами в растянутой зоне полная кривизна определяется:

,

где - кривизна от непродолжительного действия всей нагрузки,

- кривизна от непродолжительного действия постоянных и длительных нагрузок,

-кривизна от продолжительного действия постоянных и длительных на-

грузок,

S - табличный коэффициент, принимаемый по табл. 12 приложения.

Кривизна от непродолжительного действия всей нагрузки

Исходные данные. Действующий момент от полной нормативной нагрузки M_n=52,18 кНм; рабочая высота сечения h₀=27 см; ;b=14см; Р₂=158,6 кН.

Для элементов прямоугольного таврового и двутаврового профилей допуска­ется вычислять кривизну по упрощенной формуле при выполнении условий:

• <0,3ho =0,3∙27=8,1 см, условие выполняются,

• а'_s = 0 см < 0,2 ho =0,2∙27=5,4 см, условие выполняются.

Вычисляем кривизну по упрощенной формуле

где:

φ_c - определяется по таблице 21 приложения по параметрам:

φ_f = 1,48 из предыдущего раздела; e_s/h₀=0,33/0,27 = 1,22;

при f ≤ f_ult допускается принимать ψ_s =1 и соответственно, вычисляем

E_b,red= R_b,ser /ε_b,red=22∙10³/15∙10^-4=1,47∙10⁷кН/м²;

α_s2= α_s1= E_s/ E_b,red= 20∙10⁷/1,47∙10⁷=13,6,

µα_s2= (А_sp+ А_s) α_s1/bh₀=13,6(3,08+1,01) ∙10^-4/0,14 ∙0,27=0,147,

Находим φ_c = 0,29 и вычисляем кривизну.

Кривизна от непродолжительного действия

постоянных и длительных нагрузок

Исходные данные. Действующий момент от постоянной и длительной нор­мативной нагрузки M_n,дл=45,04 кНм; h₀=27 см; b=14 см; As=3,08∙10^-4м²; Р₂=158,6 кН; E_b,red=1,47∙10⁷кН/м²;

µα_s2=0,147; По таблице 21приложения φ_c=0,29.

Кривизна от продолжительного действия

постоянных н длительных нагрузок

Исходные данные. M_n,дл=45,04 кНм; E_b,red= R_b,ser /ε_b,red=22∙10³/28∙10^-4=0,78∙10⁷кН/м²; µα_s3=0,277 e_s/h₀=1,22 φ_f = 1,48 По таблице φ_c=0,43.

Вычисляем кривизну по упрощенной формуле

Полная кривизна

=0,00444-0,00383+0,0049=0,00551м^-1

Прогиб плиты

f_ult=l/200=5,54/200=0,028 м=2,8 м при пролете элемента 6 м.

f =1,76 см < f_ult=2,8 см

Условие удовлетворяется, пересчет по уточненной формуле не производим.