4.Диференціальне рівняння гармонічних коливань.

Фізична величина , яка здійснює гармонічні коливання, задовільняє диференціальне рівняння

.

У цьому випадку амплітуда коливань визначається початковими умовами. Гармонічний осцилятор із частотою може здійснювати гармонічні коливання на іншій частоті під впливом зовнішньої дії з цією частотою. У такому випадку гармонічні коливання величини задовольняє диференціальному рівнянню

.

Такі коливання називаються вимушеними. Амплітуда вимушених коливань визначається величиною зовнішньої дії.

5. Рівняння згасаючих коливань і його розв’язок.

В реальних коливних системах внаслідок дії сил опору, проти цих сил треба виконувати роботу, отже будуть втрати енергії. Внаслідок цього з часом коливання втрачають гармонічний характер і врешті-решт припиняються. В такому випадку говорять про згасаючі коливання.

X=це буде х з двома крапками)

X= це буде х з однією крапкою)

x=-w_o²x

F_пр=-kx

F_o=-bv=-bx b- коефіцієнт опору

Mx=-kx-bx

X+b/mx+kx/m=0

X+2Bx+w₀²x=0 – диф. рів-ня згасаючих коливань

B=b/2m B- коеф. згасання

X=U(t)e^-Bt

X=-Be^BtU+e^-BtU

X=U*e^-Bt-Bue^-Bt-Ube^-Bt+B²Ue^-Bt

U-2BU+B²U+2BU-2B²U+w₀²U=0

U+(w₀²+B²)=0

U+w²U=0 w²=w₀²-B²

Розв’язком цього рів-ня буде:

U=A₀cos(wt+ф)

X=A₀e^-Btcos(wt+ф) – розв. рів-ня згасаючих коливань

Амплітуда згасаючих коливань

Х- логарифм. декремент згасання

Х=ln(A₀e^-Bt/A₀e^-B(t+T))=BT. Якщо коефіцієнт B для середовища є дуже великим, то коливання можуть стати аперіодичними

8. Поздовжні і поперечні хвилі. Рівняння біжучої хвилі. Стоячі хвилі.

Основна властивість всіх хвиль є перенесення енергії без перенесення речовини.

Механічними хвилями називаються механічні збурення, що поширюються у пружному середовищі. Пружні хвилі бувають поперечні і поздовжні.

У поперечних хвилях частинки середовища коливаються в площинах, які перпендикулярні до напрямку поширення хвилі.

Поперечні хвилі можуть поширюватися в середовищі, в якому виникають пружні сили при деформації зсуву, тобто лише у твердих тілах.

У поздовжніх хвилях частинки коливаються в напрямку поширення хвилі. Ці хвилі можуть поширюватися в середовищах, в яких виникають пружні сили при деформації стиску і розтягу, тобто у твердих, рідких і газоподібних тілах.

Поширення в пружному середовищі механічних збурень, збудженим джерелом хвиль, пов’язане з перенесенням хвилями енергії. Тому такі хвилі називаються біжучими хвилями.

Рівнянням хвилі називається вираз, який описує зміщення коливної частинки як функцію її рівноважних координат x, y, z і часу t.

Тоді рівнянням біжучої хвилі, що поширюється вздовж осі ОХ, має такий вигляд:

де A – амплітуда коливань, яка називається амплітудою хвилі; – циклічна частота хвилі; – початкова фаза коливань в площині х=0.

Величина дорівнює фазі коливань в довільній площині з координатою х і називається фазою плоскої хвилі.

Особливим випадком інтерференції є стоячі хвилі.

Стоячі хвилі - це хвилі, які утворюються при накладанні двох біжучих хвиль, що поширюються назустріч одна одній з однаковими частотами і амплітудами.

А мплітуда стоячих хвиль; коли вона досягає максимального значення, то ці точки будуть називатися пучностями стоячої хвилі, а коли амплітуда досягає мінімального значення, то ці точки будуть називатися вузлами стоячої хвилі.

Тоді координати пучностей а вузлів