4. Методические указания.

4.1. Определение параметров и порождающего многочлена кода рс.

Как известно [1], параметры кода РС удовлетворяют следующим соотношениям:

где − общее число недвоичных символов в блоке кода; − число информационных символов; − число проверочных символов; − исправляющая способность кода (выраженная в количестве недвоичных символов); − минимальное кодовое расстояние кода . При этом порождающий многочлен определяется из выражения

, (1)

где − примитивный элемент поля . Перемножение двучленов в формуле (2) выполняется по правилам поля . При выполнении лабораторной работы необходимые вычисления целесообразно производить с использованием возможностей программного пакета Matlab в интерактивном режиме.

Для иллюстрации изложенного рассмотрим следующий пример. Определим значение порождающего многочлена для построения кода РС, в каждом символе которого содержится 4 двоичных элемента (т.е. с ), обеспечивающего . При этом имеем: . Полиномы над полем , соответствующие фигурирующим в формуле (1) сомножителям, в командном окне системы Matlab задаются как [2]

; ; ;

; ; .

Отметим, что при задании сомножителей-полиномов использовалось представленное в приведённой [3] табл. П.3 соответствие между степенями примитивного элемента поля (первая слева колонка таблицы) и их десятичными эквивалентами (первая справа колонка таблицы). При выполнении данной лабораторной работы следует воспользоваться соотношениями, характеризующими поле , которые приведёны в табл. П.2 настоящих методических указаний.

Умножение полиномов над конечным полем осуществляется с помощью команды , и записывается в виде: . Поскольку в рассматриваемом случае нужно перемножить не два, а шесть многочленов, результат также получаем с помощью команды путём последовательного попарного умножения отдельных компонент результирующего произведения, реализуемого в нашем примере так:

; ; ;

; .

После выполнения описанных операций в командном окне системы Matlab появляется результат:

,

что соответствует образующему полиному вида:

, (2)

или (после перехода к степенному представления элементов поля (см. приведённую в [3] табл. П.3)):

.

4.2. Кодирование (формирование разрешённой комбинации кода).

Поскольку коды РС представляют собой подмножество (или подкласс) кодов БЧХ и являются систематическими циклическими кодами, кодирование, т.е. формирование кодового слова , соответствующего заданной информационной последовательности , в принципе выполняется аналогично одноимённой процедуре, рассмотренной в лабораторной работе №2. Определённая специфика при этом возникает из-за того, что символы кода РС являются недвоичными элементами поля , выражаемыми через двоичные элементы последовательности данных, непосредственно передаваемой в канал связи. Рассмотрим конкретный пример выполнения этой операции с использованием возможностей системы Matlab.

Положим, что необходимо передать двоичную информационную последовательность

, (3)

используя рассмотренный выше код РС (15,9) с исправляющей способностью , образующий полином которого задаётся выражением (2). При этом в каждом символе кода, представляющем собой элемент поля , содержится двоичных символов передаваемой последовательности. С помощью приведённой в [3] табл. П.3 преобразуем заданную двоичную последовательность (3) в информационную последовательность символов кода РС. Учитывая, что четырём последним двоичным элементам 1101 последовательности (3) в табл. П.3 соответствует элемент поля (или 13 в десятичном представлении, что получается простым переводом числа 1101 из двоичной системы в десятичную), последний символ в последовательности принимаем равным 13 (или ). Поступая аналогичным образом с остальными четвёрками двоичных элементов в (3), убеждаемся, что совокупность знаков (3) эквивалентна информационной последовательности символов кода РС (в десятичном представлении)

. (4)

Данная последовательность может быть представлена в виде полинома . Также как и в случае двоичного кода БЧХ [3], задача кодирования заключается в преобразовании информационной последовательности , в соответствии с выражением

, (5)

где − количество проверочных разрядов кода , а −число информационных разрядов этого кода.

При этом многочлен , задающий проверочные разряды кода, определяется из соотношения:

(6)

(т.е есть остаток (вычет ) от деления полинома на ).

В нашем примере полином над полем , соответствующий слагаемому в сумме (5), в командном окне системы Matlab задаётся как

При записи этой команды был учтён тот факт, что умножение многочлена на эквивалентно добавлению справа нулей к соответствующей кодовой комбинации .

Для определения задаваемого выражением (6) остатка следует воспользоваться командой , записав:

.

При этом предполагается, что результат вычисления , осуществлённого при выполнении предыдущего пункта задания, остался активным в командном окне Matlab. В противном случае перед выполнением команды его надо ввести как .

Первый элемент возвращаемого этой командой вектора представляет частное от деления , а второй − −остаток, который и определяет проверочные разряды кода. Результаты выполнения этой команды в рассматриваемом примере выглядят так:

;

. (7)

Искомая кодовая комбинация кода РС в соответствии с (4) может быть определена с использованием команды . Получаемый при этом результат имеет вид:

,

что эквивалентно «дописыванию» к девяти информационным разрядам , определяемым (4), шести последних разрядов из (7). Для определения двоичной кодовой комбинации , непосредственно передаваемой в канал, необходимо преобразовать найденные проверочные символы (шести последних разрядов из (7)) в их двоичный эквивалент и приписать их справа к информационной комбинации , определяемой (3). После выполнения этих действий получаем:

.