4. Методические указания.
4.1. Формирование проверочной и образующей матриц кода Хемминга.
Как известно [1], параметры кода Хемминга удовлетворяют следующему соотношению:
,
где
− общее число разрядов в блоке кода;
− число информационных разрядов;
− число проверочных разрядов. Поэтому
при заданном значении
величины
и
могут быть определены как
;
. (1)
Проверочная матрица
кода Хемминга имеет размерность
и в канонической форме может быть
представлена в виде:
, (2)
где
− единичная матрица размером
;
- прямоугольная матрица размером
,
столбцами которой являются все возможные
разные
–разрядные
комбинации двоичного кода, не совпадающие
с кодовыми словами, имеющими место в
столбцах матрицы
(символ
в обозначении
означает транспонирование).
Транспонируя
полученную таким образом матрицу
,
можно получить матрицу
,
а по ней построить порождающую матрицу
, (3)
имеющую размерность
.
Рассмотрим пример
построения матриц
и
для кода Хемминга с
.
Воспользовавшись соотношениями (2),
определяем, что в этом случае
и
.
При этом единичная матрица
имеет размер
и выглядит так:
. (4)
Матрицу
размерностью
получим, записывая в качестве четырёх
её столбцов все возможные, не совпадающие
со столбцами матрицы (4), комбинации
3-разрядного двоичного кода. Очевидно,
что данным условиям удовлетворяют
несколько вариантов построения
,
отличающиеся расположением различных
столбцов, причём все эти варианты
порождают эквивалентные (т.е. имеющие
одинаковые минимальное кодовое расстояние
и исправляющую способность) коды.
Рассматривая столбцы как запись
десятичных чисел в двоичной форме с
условием, что верхний элемент столбца
является старшим разрядом, при выполнении
данной лабораторной работы для исключения
отмеченной неоднозначности, будем
располагать их слева направо в порядке,
соответствующем убыванию значений
десятичных чисел. (Такой подход
использовался при составлении вариантов
задания). В нашем примере это приводит
к результату:
. (5)
Объединяя (5) и (4) в соответствии с (2), получаем:
. (6)
Транспонирование
матрицы
приводит к результату:
, (7)
а единичная матрица
выглядит так:
. (8)
Объединяя (8) и (7) в соответствии с (3), получаем:
. (9)
Для выполнения последующих пунктов рабочего задания целесообразно воспользоваться возможностями пакета Matlab в интерактивном режиме. При этом сформированные матрицы в командном окне системы Matlab задаются как:
;
%формируем матрицу
;
%формируем матрицу
;
%формируем матрицу
;
%формируем матрицу
;
%формируем матрицу
(транспонируем
)
%формируем матрицу
4.2. Кодирование (формирование разрешённой комбинации кода).
Кодирование, т.е.
формирование кодовых слов
систематического кода Хемминга сводится
к умножению вектора
,
содержащего
заданных информационных разрядов кода,
на образующую матрицу
.,
т.е
. (10)
При
этом умножение в (10) осуществляется с
использованием правил выполнения
арифметических операций в поле
.
В
качестве примера выполним кодирование
кодом (7,4) информационной последовательности
1101. При этом
,
задаётся соотношением (9), и в соответствии
с (10) имеем:
.
Специфика
вычислений в поле
в данном случае проявляется в том, что,
например, при вычислении шестого слева
разряда кодового слова
имеем:
,
т.е. сложение выполняется по модулю 2,
что соответствует правилам выполнения
арифметических операций в поле
.
В командном окне пакета Matlab рассмотренные действия можно реализовать следующим образом:
v4g=gf([1,1,0,1]);
%задаём информационный вектор
в поле %
;
% задаём сформированную ранее матрицу
в %поле
;
% вычисляем вектор сформированного
слова %кода
в поле
;
% переводим вычисленный в поле
вектор %сформированного слова кода
в поле действительных чисел