Лінійні динамічні системи

Лінійні динамічні системи підкоряються лінійній системі диференціальних рівнянь. Тут, як і надалі, користуватимемося векторно-матричною формою запису

(4)

де G(t) - відома матриця динамічної системи розміру пхп, F(t) -прямоугольная вхідна матриця для сигналу управління розміру п х l.

Векторно-матричне рівняння може бути розписане таким чином

(5)

де - елементи матриць G и F . Якщо ці коефіцієнти - постійні величини, то система називається стаціонарною (інваріантною), інакше - нестаціонарною.

Введемо позначення для оператора диференціювання тоді диференціальне рівняння (4) можна переписати так

(6)

Помножимо формально обидві частини рівності (6) на

(7)

Отримане «вирішення» системи диференціальних рівнянь не що інше, як операторний запис цієї системи. Матрицю можна назвати оператором лінійної системи по відношенню до вхідного векторного сигналу . Вихідної змінної динамічної системи слід рахувати вектор спостережень , (8) де H(t) – відома прямокутна матриця розміру (т х п ), яку можна вважати вихідною матрицею.

Визначимо зв'язок між вхідним сигналом (управлінням і) і вихідним сигналом (спостереженням z):

(9)

Для стаціонарної системи вхідна і вихідна матриці мають постійні елементи. Ігноруючи поки шуми спостережень (r(t)=0), для стаціонарної системи будем мати

. (10)

Матричний оператор вигляду

, (11)

що встановлює зв'язок між вхідним і вихідним сигналами, називають

передавальною функцією. Проілюструємо сказане декількома прикладами.

Приклад 1

Змінні x(t) і і(t) зв'язані між собою диференціальним рівнянням третього порядку

Визначити передавальну функцію.

Рішення. Замінимо операцію диференціювання оператором D і «вирішимо» отриману рівність відносно х

Отже, шукана передавальна функція має вигляд

.

Приклад 2

Диференціальне рівняння, що зв'язує вхідну і вихідну змінні, вказане в Прикладі 1. Представити рівняння третього порядку

системою рівнянь першого порядку. Визначити матричну передавальну функцію. Розглянемо два варіанти.

Варіант 1

Введемо позначення

Диференціальне рівняння приймає вигляд

Таким чином, маємо систему, що складається з трьох рівнянь першого порядку

У матричному вигляді ця система має вигляд то мережа Отже, оператором системи буде

Після звернення матриці, отримаємо

.

Помножимо отриманий вираз справа на вхідну матрицю, отримаємо матричну передавальну функцію

.

Бачимо, що отримана передавальна функція відрізняється від тієї, яку ми

отримали в першому варіанті, оскільки ми змінили позначення для вектора стану. Проте, позначення для ми зберегли, залишилася незмінною і передавальна функція для цієї компоненти.