65. Специальные задачи математического программирования. Задача о назначениях. Задача о коммивояжере.

1. Среди задач линейной оптимизации могут быть выделены два класса задач со специальной структурой: транспортная задача и задача о назначениях. Эти задачи используются для моделировали оптимизации экономических проблем, связанных с формированием оптимального плана перевозок, оптимального распределения индивидуальных контрактов на транспортировки, составления оптимального штатного расписания, определения оптимальной специализации предприятий, рабочих участков и станков, оптимального назначения кандидатов на работы, оптимального использования торговых агентов. Критерием эффективности в данных задачах является линейная функция, ограничения также линейны, поэтому для их решения могут применяться методы линейной оптимизации, например симплекс-метод. Однако специальная структура таких задач позволяет разработать более удобные методы их решения. Некоторые из таких методов приведены этой книге. Даны общая формулировка задач, основные термины и определения, этапы построения математических моделей, этапы получения оптимальных решений. Также приведены числовые примеры экономических задач, которые могут быть решены этими методами.

2. задача о назначениях – это распределительная задача, в которой для выполнения каждой работы требуется один и только один ресурс (один человек, одна автомашина и т.д.), а каждый ресурс может быть использован на одной и только одной работе. То есть ресурсы не делимы между работами, а работы не делимы между ресурсами. Таким образом, задача о назначениях является частным случаем транспортной задачи. Задача о назначениях имеет место при назначении людей на должности или работы, автомашин на маршруты, водителей на машины, при распределении групп по аудиториям, научных тем по научно-исследовательским лабораториям и т.п.

Алгоритм венгерского метода.(это по ходу задача о назначениях.только другим методом)

В исходной матрице стоимостей определим в каждой строке минимальную стоимость и отнимем ее от других элементов строки.В матрице, полученной на первом этапе, найдем в каждом столбце минимальную стоимость и отнимем ее от других элементов столбца.Если после выполнения первого и второго пункта не получено допустимое решение (в том смысле, что каждому работнику назначена в точности одна работа) выполняем следующие действия:В последней матрице проведите минимальное число горизонтальных и вертикальных прямых по строкам и столбцам, чтобы вычеркнуть в матрице все нулевые элементы.

Найдите наименьший невычеркнутый элемент и вычтите его из остальных невычеркнутых элементов и прибавьте к элементам, стоящим на пересечении проведенных на предыдущем этапе прямых.

Если новое распределение нулевых элементов не позволяет построить допустимое решение повторите пункт 3. В противном случае перейдите к пункту 4.

Оптимальным назначениям будут соответствовать нулевые элементы, полученные на предыдущем этапе.

3.Задача о коммивояжере

Задача о коммивояжере – одна из знаменитых задач теории комбинаторики. Она была поставлена в 1934 году. В своей области (оптимизации дискретных задач) задача коммивояжера служит своеобразным полигоном, на котором испытываются всё новые методы решения.

Постановка задачи. Коммивояжер должен объехать N городов. Известны затраты (стоимостные, временные, расстояния) на переезд между i – м и j – м городом, которые заданы в виде матрицы . Коммивояжер, выехав из исходного города, должен объехать все города, посетив каждый один раз, и вернуться в исходный. Требуется определить в каком порядке следует объезжать города, чтобы суммарные затраты были минимальными.

Если затраты на переезд между каждой парой городов не зависят от направления движения, то задача называется симметричной, в противном случае – несимметричной.

К задаче коммивояжера сводится ряд практических задач. Она решается во многих областях, связанных с замкнутыми и при этом жестко связанными по времени системами. Например, конвейерное производство (в этом случае величины означают затраты времени, или стоимостные затраты на переналадку конвейера при переходе от выполнения операции i к операции j), многооперационные обрабатывающие комплексы (определяется оптимальный порядок обработки различных изделий на одном и том же оборудовании), судовые и железнодорожные погрузочные системы, перевозки грузов по замкнутому маршруту, расчет авиационных линий.

Модель. В качестве переменных выбираются элементы матрицы переездов:

Пусть .

- переезд из i-го города в j-ый включается в маршрут;

- в противном случае.

Ограничения группы (а) задают условие: в каждый город коммивояжер въезжает только один раз. Ограничения группы (b) задают условие: из каждого города коммивояжер выезжает только один раз.

При решении задачи также необходимо учесть дополнительное условие, недопускающее появление неполных замкнутых циклов (см. рисунок 3.3).

Например, для задачи с 5-ю городами в модель добавляются следующие блоки условий

Условия блока (3.6) не допускают появления неполных замкнутых циклов между парами городов. Условия блока (3.7) не допускают появления неполных замкнутых циклов между тремя городами. Аналогичный блок условий (3.8) вводится для всех четверок городов.

В [4] приведен еще один вид математической записи комплекса ограничений, описывающих это дополнительное условие.

Задача является задачей булевского программирования.

Методы реше

метод ветвей и границ для задачи о коммивояжере; этот метод является эвристическим в том смысле, что он не использует модельного представления задачи, а различные ограничения задачи, такие как, например, условие связанности полного цикла учитываются непосредственно в алгоритме метода;

венгерский методом с модификацией, отвергающей решения с неполными замкнутыми циклами [4];

методы ЦЛП при преобразовании модели к модели ЦЛП; такой подход требует полное модельное описание задачи, включая моделирование условия связанности полного цикла; теоретически такой подход возможен, но с точки зрения вычислительных затрат очень не эффективен.

ГСЭ.В.02.Основы тренерского мастерства.