Контрольная работа 2

Рассматривается технологический процесс, который описывается уравнениями регрессии вида:

y₁ = 81 u₁ + 136 u₂ – 36 u₃ – 334 z₁ + 330 z₂ + 6059 ≥ b₁;

y₂ = 10,5 u₁ + 7,5 u₂ – 2,5 u₃ + 3,8 z₂ + 134,5 ≥ b₂;

y₃ = 148 u₁ + 153 u₂ + 300 u₃ + 733 ≥ b₃,

где

b₁, b₂, b₃ - численные значения качественных показателей целлюлозы по ГОСТу.

Требуется синтезировать программу управлений:

u₁ (z₂), u₂ (z₂), u₃ (z₂) при z₁ = const ,

обеспечивающую максимум критерия качества

J ⁼ 59,21 - 6,25 u₁ - 5,1 u₂ + 1,32 u₃ – 3,45 z₂

при ограничениях на управления и возмущения 0 ≤ u₁ ≤ 1;

0 ≤ u₂ ≤ 1; 0 ≤ u₃≤ 1; 0 ≤ z₁ ≤ 1; 0 ≤ z₂ ≤ 1.

Данные для расчета приведены в табл. 2.

Предложенное задание контрольной работы связано с синтезом оптимальных законов управления стационарным технологическим процессом.

Поскольку рассматриваемый процесс является стационарным и все действующие на него возмущения поддаются измерению, то при известной математической модели задача оптимального управления статическим режимом ТП сводится к расчету траекторий изменения уставов локальных регуляторов (составляющих вектора U), обеспечивающих введение процесса с наибольшей эффективностью.

Траектории изменения уставок, построенные в функции воз­мущающих воздействий называют оптимальным программным управле­нием.

Для решения предложенной задачи в принципе можно использо­вать любой из известных методов линейного программирования. Однако, использование симплекс-метода в данном случае нерацио­нально, так как при синтезе оптимальных программных управлений во всем диапазоне изменения Z поиск оптимального плана необходимо многократно повторять. Значительное сокращение объема вычислений при решении задач подобного рода можно до­биться за счет применения метода линейного программирования, разработанного С.Н.Черниковым. Метод основан на поиске оптималь­ных значений целевой функции путем последовательного исключе­ния переменных, поэтому он позволяет выразить функцию J че­рез возмущающие воздействия. При наличии зависимости J = f (z) несложно

рассчитать программу оптимального закона управления во всем диапазоне изменения Z .

Алгоритм метода включает три основных этапа:

1. Приведение задачи к каноническому виду.

2. Поиск экстремального значения целевой функции.

3. Поиск оптимальной точки в допустимой области. Методику расчета проиллюстрируем на простейшем примере. Найти максимум линейной функции

J = 50 x₁ + 40 x₂

при ограничениях

2 x₁ + 5 x₂ ≤ 20;

8 x₁ + 5 x₂ ≤ 40;

5 x₁ + 6 x₂ ≤ 30;

x₁ ≥ 0 ; x₂ ≥ 0.

1. Приводим исходную задачу к каноническому виду

y₁ = 20 – 2 x₁ – 5 x₂ ≥ 0;

y₂ = 40 – 8 x₁ – 5 x₂ ≥ 0;

y₃ = 30 – 5 x₁ – 6 x₂ ≥ 0.

2. Дополняем эту систему неравенством

J ≤ 50 х₁ + 40 х₂ или y₄ = 50 x₁ + 40 x₂ – J ≥ 0.

3.Составляем матрицу коэффициентов заданной системы неравенств

№ п/п	x1	x2	J	I
1	-2	-5	0	20
2	-8	-5	0	40
3	-5	-6	0	30
4	50	40	-1	0
5	1	0	0	0
6	0	1	0	0

2. На этапе исключения переменных необходимо выполнить сле­дующие преобразования:

№ п/п	x1	x2	J		I
1	-1	-2,5	0		10
2	-1	-0,625	0		5
3	-1	-1,2	0		6
4	1	0,8	-0,02		0
5	1	0	0		0
1,4	0	-1,7	-0,02		10
2,4	0	0,175	-0,02		5,0
3,4	0	-0.4	-0,02		6
1,6	0	-2,5	0		10
2,5	0	-0,625	0		5
3,5	0	-1,2	0		6
1,4	0	-1	-0,01176		5,882
2,4	0	1	-0,1143		28,57
3,4	0	-1	-0,05		10
1,5	0	-1	0		4
2,5	0	-1	0		8
3,5	0	-1	0		5
6	0	1	0		0
1,4,2	0	0	-0,126	34,37
2,4,3	0	0	-0,1643	43,57
2,4,5	0	0	-0,1143	36,57
1,4,6	0	0	-0,01176	5,882
3,4,6	0	0	-0,05	15
1,5,6	0	0	0	4
2,5,6	0	0	0	8
3,5,6	0	0	0	5

-переписать матрицу коэффициентов, вычеркнув из нее строку, в которой коэффициент при исключаемой переменной равен 0 ;

-поделить построчно все элементы матрицы коэффициентов на мо­дуль коэффициента соответствующей строки исключаемой переменной;

- сложить строки с противоположными знаками при исключаемой переменной. При этом необходимо руководствоваться следующим пра­вилом:

Если суммарное число индексов двух складываемых строк пре­вышает наперед заданное число η, то данное сочетание строк исключается из дальнейшего рассмотрения. Число η определяет­ся индексом исключаемой переменной увеличенным на единицу.

5. Поиск экстремального значения целевой функции начинается с решения неравенств, полученных после исключения всех переменных

-0,126J + 34,37 > 0, J < 272,8;

-0,1643J + 43,57 > 0, J < 265,2;

-0,1143J + 36,57 > 0, J < 319,94;

-0,05J + 15 > 0, J < 300.

Минимальная величина из полученных результатов, определяет оптимальное значение целевой функции, удовлетворяющее всем ограни­чениям при поиске максимума, т.е. J_опт.=265,2.

6. Поиск координат оптимальной точки (т.е. переменных x₁ и x₂ ) начинается с переменной x₂. Для этого в соответствующую матрицу коэффициентов подставляется найденное значение целевой функции J и полученные неравенства разрешаются относительно неизвестной x₂ .

Истинное значение переменной определяется из неравенств, кото­рые можно представить в виде одного равенства.

-x₂ – 0,01176J + 5,882 ≥ 0, -x₂ – 3,12 + 5,882 > 0, x₂ < ,762;

+x₂ – 0,1143J + 28,57 ≥ 0, x₂ – 30,28 + 28,57 ≥ 0, x₂ > 1,73;

-x₂ – 0,05J + 15 ≥ 0, -x₂ – 13,25 + 15 > 0, x₂ < 1,73.

Следовательно, x₂ =1,73. Аналогично находят значения остальных переменных

-x₁ – 2,5 x₂ + 10 ≥ 0, -x₂ + 5,75 ≥ 0, x₁ < 5,75;

-x₁ – 0,625 x₂ + 5 ≥ 0, -x₁ + 3,94 ≥ 0, x₁ < 3,94

-x₁ – 1,2 x₂ + 6 ≥ 0, -x₁ + 3,96 ≥ 0, x₁ < 3,96;

x₁ + 0,8 x₂ – 0,02J ≥ 0, x₁ + 1,36-5,3>0 x₁ > 3,94.

Следовательно, x₁ =3,94.

Таким образом, оптимальное решение имеет вид:

x₁ = 3,94; x₂ = 1, 73; J = 265,2.