8.2. Алгоритмы получения случайных чисел с заданным законом распределения

Для получения случайных чисел с заданным законом распределения по реализации случайных чисел с равномерным законом распределения используются 3 основных метода преобразования законов распределения случайных величин:

• Метод обратных функций.

• Метод Неймана.

• Метод моделирования условий предельных теорем теории вероятности.

Метод обратных функций. Если случайная величина y имеет заданную плотность распределения f (y), то случайная величина x,

x = f(y)dy (8.2.1)

будет иметь равномерный закон распределения в интервале[0,1].

С другой стороны закон распределения F(y), для случайной величины y:

F(y) = f(y)dy (8.2.2)

откуда

x=F(y) или y = F^-1(x), (8.2.3)

где F^-1(x) - функция обратная F(x).

Случайные величины y_i, полученные с помощью преобразования (8.2.3) из равномерно распределенных величин x_i, имеют заданный закон распределения F(y). Использование обратной функции в выражении (8.2.3) и определило наименование метода - метод обратных функций.

Пример 8.2.1

Необходимо получить случайные числа y_i с показательным законом распределения при заданной плотности распределения

f(y) = λe^-λy

и использовать для этой цели случайных чисел x_i, равномерно распределенных в интервале [0,1]. Выражение (8.2.1) в этом случае

.

Вычисляем интеграл и, разрешая уравнение относительно y, получим

. (8.2.4)

Производя операции по алгоритму (8.2.4) над каждым числом из последовательности x_i, получаем последовательность случайных чисел y_i с показательным законом распределения.

Этот метод является основным методом при моделировании преобразования закона распределения на аналоговых машинах.

Метод Неймана. Этот метод позволяет из исходной совокупности равномерно распределенных случайных чисел x_i выбрать совокупность случайных чисел y_i(j < i) с заданным законом распределения. Алгоритм метода состоит в том, что из исходной совокупности случайных равномерно распределенных чисел отбирают только те числа, которые удовлетворяют некоторым условиям. Затем эти числа подвергают преобразованию и получают совокупность случайных чисел с заданным законом распределения.

Пусть требуется получить значения случайных чисел y_i с плотностью нормального распределения f(y) из исходной совокупности равномерно распределенных случайных чисел. Прежде всего, выполним усечение распределения f(y) таким образом, чтобы область возможных значений случайных величин лежала в интервале [a, b].

Обозначим максимальное значение f(y) через С. Тогда график функции f(y) будет вписан в прямоугольник со сторонами (b-a) и c. Назовём этот прямоугольник областью А. Возьмем случайное число, равномерно распределенное в интервале [1,0] и изменим его масштаб так, чтобы получилось число x₁^*, равномерно распределённое в интервале (a,b), т.е.

x₁^* = a + x₁(b – a).

Число x₁^* отложим на абсциссе графика f(y). Затем возьмем следующее число x₂, преобразуем его к интервалу [0,C]:

x₂^* = x₂C.

Число x₂^* отложим по оси ординат того же графика. Точка с координатами (x₁^*, x₂^*) на графике функции f(y) есть случайное число из двумерной совокупности, равномерно распределенной в области А.

Эта точка может быть расположена под кривой f(x) (область B) или над ней. Затем из последовательности случайных чисел x_i отбираем поочерёдно пары значений x₁, x₂, x₃, x₄…, приводим каждую пару к области A и выбираем условно те значения x^*_2k-1x^*_2k, x^*_2n-1x^*_2n, …, которые попадают в область В.

Полагая y₁ = x^*_2k-1, y₂ = x^*_2n-1, …, получим последовательность случайных чисел y₁, y₂, …, y_i… с заданной плотностью распределения f(x).

Последовательность простых логических и арифметических операций, которые необходимо выполнить по методу Неймана, легко реализуется на ЭВМ.

Метод моделирования условий предельных теорем теории вероятностей. Эти методы используют центральную предельную теорему теории вероятностей. Для получения случайных чисел с нормальным законом распределения из исходной совокупности x_i с некоторым другим законом, например, с равномерным законом распределения, используют центральную предельную теорему, которая формулируется следующим образом:

Если x₁, x₂, …, x_n - независимые случайные величины, имеющие один и тот же закон распределения математический и дисперсионный σ², то при неограниченном увеличении закон распределения суммы

(8.2.5)

неограниченно приближается к нормальному. При реализации моделирования условий центральной предельной теоремы уже при сравнительно небольших n выражение (8.2.5) имеет распределение близкое к нормальному. Для решения прикладных задач можно пользоваться n≥8. Следует учесть, что при использовании формулы (8.2.5) математическое ожидание и дисперсия определяются по выражению:

m_y = nm_x; σ_y = σ_x √n.

Этот алгоритм используется как на ЦВМ, так и на АВМ, при моделировании случайных чисел с нормальным законом распределения.