Вопросы для самопроверки по главе 2

1. Перечислите основные особенности современных технологических процессов.

2. Составьте блок – схемы одномерного и многомерного технологического процесса.

3.В чем разница между детерминированной и стохастической моделью процесса?

4. Перечислите типы моделей технологических процессов.

5.В каких случаях необходимо использовать нестационарные модели?

6.В каких случаях при управлении процессом можно ограничиться статической моделью объекта?

7.Перечислите основные характеристики реального технологического процесса как объекта управления.

8. Перечислите характерные черты дискретных технологических про­цессов.

9.По каким основным направлениям происходит развитие АСУТП в дискретном производстве?

10.Почему управление точностью считается главной задачей управления процессом массового производства?

11.Какие факторы определяют тенденцию увеличения парка промышленных роботов в современном производстве?

.

Глава 3. Алгоритмы централизованного контроля

3.1. Задачи подсистемы контроля в асутп

Подсистема контроля в АСУТП предназначена для сбора и передачи измерительной информации от датчиков, установленных на технологическом процессе (ТП), а также для первичной обработки этой информации. Поскольку информация, вырабатываемая алгоритмами подсистемы контроля, используется для расчета законов управления, то она должна использоваться в реальном масштабе времени, т.е. в темпе с процессом. Исключение составляют алгоритмы по расчету технико-экономических показателей (ТЭП), которые не используются в системе управления АСУТП, а передаются на более высокий уровень управления, например в систему планирования производства. Такая информация обычно обрабатывается в ускоренном масштабе времени.

Комплекс алгоритмов централизованного контроля обычно включает следующий набор алгоритмов:

• алгоритмы циклического и адресного опроса датчиков;

• алгоритмы по аналитической градуировке датчиков;

• алгоритмы фильтрации измеряемых сигналов от помех;

• алгоритмы экстраполяции и интерполяции дискретно-измеряемых величин;

• алгоритмы контроля достоверности информации о процессе;

• алгоритм по расчету технико-экономических показателей.

3.2.Алгоритмы контроля, работающие в режиме реального времени

Алгоритмы циклического опроса датчиков предполагают их периодический опрос и сравнение каждого из опрошенных датчиков с нормой.

Опрос начинается с датчика, номер которого принят за начальный и заканчивается датчиком, имеющим последний номер. В случае выхода параметров датчика за пределы нормы производится печать времени выхода, значений параметра и номера датчика. При адресном опросе контроль, за состоянием датчиков, осуществляется оператором, который запрашивает параметры датчика, набирая адрес запрашиваемого датчика с пульта управления.

На рис.3.2.1 показана блок – схема алгоритма циклического опроса датчиков.

В схеме приняты следующие обозначения:

Х^в[1:n], Х^н[1:n] – массивы верхних и нижних предельных значений контролируемых параметров;

∆Х_i[1:n] – массив значений отклонений контролируемых параметров, вышедших за пределы нормы;

∆Х_i^в[1:n] – массив значений аварийных отклонений контролируемых параметров;

i – порядковый номер датчика;

j - порядковый номер контролируемого параметра, вышедшего за пределы нормы.

При соединении датчика с управляющей вычислительной машиной (УВМ) значение выходного сигнала датчика преобразуется в число. Однако это число определяет не измеряемую величину, а значение выходного сигнала датчика. Процедура преобразования выхода датчика в измеряемую величину и называется аналитической градуировкой датчиков.

Функциональная зависимость между измеряемой величиной x и выходным сигналом датчиков y определяется в общем случае выражением вида:

y = F(x), (3.2.1)

где x – измеряемая величина;

у – выход датчика.

Откуда x = F^-1(y) или x = f(y) (3.2.2)

При линейной характеристике датчика выражение (3.2.1) запишется в виде:

у = а₀ + а₁х. (3.2.3)

Откуда, значение выходной величины можно вычислить по выражению

. (3.2.4)

В случае нелинейного датчика выражение (3.2.1) аппроксимируется либо нелинейными функциями, либо задается в виде таблицы. В последнем случае значения переменных x и y заносятся в таблицу с постоянным шагом ∆x.

x	x1	x2	x3	……	xi	……	xn
y	y1	y2	y3	…….	yi	……..	yn

Пусть y очередное измерение,

причём y₁ < y < y₂ , тогда

. (3.2.5)

Недостаток табличной записи связан с необходимостью занесения всей таблицы в память машины, что приводит к существенной зависимости точности вычислений от шага таблицы ∆x. Поэтому в случае нелинейных датчиков наиболее рациональный метод определения x лежит на пути

использования степенных полиномов. Для цели аналитической градуировки используются степенные полиномы двух видов:

а) полиномы наилучшего приближения;

б) регрессионные полиномы.

Рис.3.2.1

Продолжение рисунка 3.2.1

Рис.3.2.1. Блок – схема алгоритма циклического опроса датчиков

Полиномы наилучшего приближения используются при низком уровне помех и стационарных показаниях датчиков.

Полином n–й степени P_n(y) = ∑а_iy^j на заданном множестве точек y(y₁,y₂,…..y_m) равномерно приближает функцию f(y) c точностью до величины ∆x_max , если │f ( y_i ) - P_n( y_i )│≤ ∆x_max для всех y_i. Погрешность аппроксимации в каждой заданной точке δ_i = x_i - P_n( y_i ) может быть больше или меньше нуля (рис.3.2.2).

Рис.3.2.2. Оценка погрешности аппроксимации

Поэтому требование

│δ_i│ ≤ δ_max ≤ ∆x_max, равносильно системе неравенств

δ_max + P_n( y_i ) - x_i ≥ 0; (3.2.6)

δ_max - P_n( y_i ) + x_i ≥ 0; (3.2.7)

i = 1, 2,….., m; δ_max ≥ 0. (3.2.8)

Чтобы аппроксимирующий полином был полиномом наилучшего равномерного приближения, потребуем минимума линейной формы, которая в нашем случае будет определяться выражением вида:

min J = δ_max. (3.2.9)

Таким образом, задача нахождения коэффициентов полинома наилучшего приближения сводится к задаче линейного программирования, где в качестве целевой функции выступает соотношение (3.2.9), а ограничениями являются выражения (3.2.6), (3.2.7), (3.2.8).

Если в результате решения задачи, при выбранной степени полинома n, окажется, что

δ_max > ∆x_max , (3.2.10)

то это означает, что аппроксимировать данную таблицу с указанной точностью полиномом n – й степени невозможно. В этом случае степень полинома следует увеличить на единицу и повторить расчет. Процедура повторяется до тех пор пока расчётное значение ошибки не достигнет величины, определяемой выражением (3.2.11):

δ_max ≤ ∆x_max. (3.2.11)

Повышать степень полинома можно до тех пор, пока n < m-1.

При n = m-1 число коэффициентов аппроксимирующего полинома будет равно числу табличных значений, что не допустимо по условиям задачи.

Пример 3.2.1. Требуется аппроксимировать функцию, заданную табличными значениями, с помощью полинома наилучшего приближения второй степени

P(y) = a₀ + a₁y + a₂y².

В таблице 3.2.1 приведены выборочные значения из градуировочной таблицы термопары хромель–капель.

Таблица 3.2.1

i	1	2	3	4	5
xi	0	100	400	500	600
yi	0	6, 95	31,49	40,16	49,02

В соответствии с изложенной методикой запишем систему неравенств для i-го измерения:

a₀ + a₁y_i + a₂y_i² + δ_max - x_i ≥ 0;

-a₀ - a₁y_i - a₂y_i² + δ_max + x_i ≥ 0;

или для всех измерений таблицы 3.2.1

z_{1 =} a₀ + δ_max ≥ 0;

z₂ = a₀ + 6,95a₁ + 6,95²a₂ + δ_max - 100≥ 0;

z₃ = a₀ + 31,49 + 31,49²a₂ + δ_max - 400≥ 0;

z₄ = a₀ + 40,16a₁ + 40,16²a₂ + δ_max - 500≥ 0;

z₅ = a₀ + 49,02a₁ + 49,02²a₂ + δ_max - 600≥ 0;

z_{6 =} -a₀ + δ_max ≥ 0;

z₇= - a₀ - 6,95a₁ - 6,95²a₂ + δ_max + 100≥ 0;

z₈ =- a₀ - 31,49 - 31,49²a₂ + δ_max + 400≥ 0;

z₉ = -a₀ - 40,16a₁ - 40,16²a₂ + δ_max +500≥ 0;

z₁₀ = -a₀ - 49,02a₁ - 49,02²a₂ + δ_max + 600≥ 0.

При поиске минимума дополняем эту систему неравенством

z_{11 =} - δ_max + J ≥ 0 и ограничением δ_max ≥ 0.

Используя полученные неравенства, составляем матрицу коэффициентов:

z	a0	a1	a2	δmax	J	1
1	1	0	0	1	0	0
2	1	6,95	6,952	1	0	-100
3	1	31,49	31,492	1	0	-400
4	1	40,16	40,162	1	0	-500
5	1	49,02	49,022	1	0	-600
6	1	0	0	1	0	0
7	-1	-6,95	-6,952	1	0	100
8	-1	-31,49	-31,492	1	0	400
9	-1	-40,16	-40,162	1	0	500
10	-1	-49,02	-49,022	1	0	600
11	0	0	0	-1	1	0
12	0	0	0	1	0	0

Решение данной задачи линейного программирования дает следующие результаты:

a₀ = 3,011; a₁ = 13,75; a₂ = 0,033; min J= 3,011.

Таким образом, аппроксимирующий полином будет иметь вид:

P(y) = 3,011 + 13,75y + 0,033y².

Регрессионные полиномы используются, когда измерения осуществляются при наличии помех. В этом случае коэффициенты регрессионного полинома P(y) рассчитываются методом наименьших квадратов, при котором минимизируется значение средней квадратичной ошибки аппроксимации, а значения вектора коэффициентов вычисляются по известной формуле:

A = (Y^TY)^-1Y^TX, (3.2.12)

где

A – вектор коэффициентов регрессионного полинома;

Y – матрица, формируемая по табличным значениям выходного сигнала датчика с учетом принятой модели регрессионного полинома (заданной степени полинома n) .

Y^T – транспонирование значений матрицы Y;

X – вектор табличных значений измеряемой величины.

Пример 3.2.2. Требуется аппроксимировать функцию, заданную табличными значениями, с помощью регрессионных полиномов. Для упрощения расчётов в примере используем фрагмент градуировочной таблицы, включающий два измерения.

i	1	2
x	100	400
y	6,95	31,5

Для аппроксимации данной таблицы задаемся полиномом вида:

P(y) = a₀ + a₁y,

и используя данные таблицы, запишем значения векторов и матриц, входящих в выражение (3.2.12):

; ;

; ;

; ;

.

Таким образом, для рассматриваемого примера аппроксимирующий полином будет иметь вид:

P(y) = 14,12 + 11,9y.

В том случае, когда расчётное значение ошибки оказывается больше допустимой, следует увеличивать степень аппроксимирующего полинома.

Перед вычислением степенных полиномов на ЭВМ их обычно преобразуют по схеме Горнера, при этом полином степени n записывается в виде:

P(y) = (((…….( a_ny + a_n-1)y + a_n-2)y +…..+a₁) + a₀.

Например, для полинома третьей степени

P(y) = a₃y³ + a₂y² + a₁y + a₀

запись по схеме Горнера будет иметь вид:

P(y) = ((a₃y + a₂)y + a₁)y + a₀.

Преимущество вычисления степенных полиномов по схеме Горнера связано с исключением операции возведения в степень и заменой её более простыми операциями сложения и умножения.

Сглаживание сигналов ЭВМ реализуется с помощью дискретных фильтров. На практике наиболее широко используются дискретные фильтры экспоненциального сглаживания. Работа такого фильтра определяется следующей рекуррентной формулой:

y[n] = (1-)y [n-1] + x[n],

где y[n] - выходной сигнал дискретного фильтра на n-ом такте;

y[n-1] - выходной сигнал на предыдущем такте его работы;

x[n] - входной сигнал фильтра на n-ом такте;

 - коэффициент, определяющий сглаживающие свойства фильтра, которые изменяются от 0 до 1.

При 1 сглаживающие свойства практически отсутствуют, так значение выходного сигнала будет полностью определяться значением входного сигнала.

При 0, наоборот входной сигнал будет оказывать минимальное значение на величину выходного сигнала. И основное значение выходного сигнала будет определяться его предыдущим значением (y[n-1]), при этом сглаживающие свойства фильтра будут максимальными.

Выбор конкретного значения  определяется уровнем помех, чем больше уровни помех, тем меньшее значение придают параметру  и наоборот.

Важное место в обработке дискретных сигналов занимают алгоритмы интерполяции и экстраполяции.

Интерполяция - это процедура построения аналитического выражения по конечному ряду заданных дискретных точек.

Интерполяцию используют в следующих задачах АСУТП:

• при интерполяции сигналов датчика;

• при формировании непрерывно-изменяющегося сигнала;

• при решении задач статической и динамической идентификации;

• при определении каких-либо параметров по готовым таблицам, диаграммам, хранящихся в памяти ЭВМ.

Для интерполирования функции по точным дискретным значениям применяются следующие интерполяционные формулы:

• в случае линейной интерполяции значения функции f(x)

в точке x(x_i ≤ x ≤ x_i+1) берётся равным

;

• в нелинейном варианте используется интерполяция по Лагранжу. Пусть известны значения функции f(x) в m точках . Из этих точек формируется многочлен степени m-1, вида:

,

где f(x_k) – значение функции f(x) в k-й точке.

Пример 3.2.3

Пусть функция f(x) задана тремя дискретными точками, значения которых указаны в таблице.

x	1	2	3
f(x)	1	4	9

Для этого примера интерполяционный полином Лагранжа запишется в виде:

.

После подстановки численных значений переменных и сокращения подобных членов, получим:

L(x) = f(x) = x².

Экстраполяция - это процедура распространения результатов, полученных из наблюдения над одной частью явления на другую его часть.

Используется в следующих задачах АСУТП:

• Для повышения качества управления, за счет введения производных в закон управления.

• Прогнозирование возмущающих воздействий, при создании оптимальных систем комбинированного типа.

• Предсказание аварийных ситуаций.

• Предсказание редко измеряемых переменных, когда для цели управления требуется более частый опрос переменных.

Задача экстраполяции решается в несколько этапов:

• Выбираем интервал наблюдения (количество исходных для предсказания замеров).

• По критерию минимума среднеквадратической ошибки вычисляются оценки коэффициентов, обеспечивающие наилучшую интерполяцию исходных замеров принятой модели (эту процедуру часто называют сглаживанием).

• Полученную модель процесса с найденными коэффициентами используют для предсказания.

Количество исходных точек не может быть меньше порядка модели m.

При их равенстве коэффициенты находятся однозначно из m уравнений, однако из-за наличия помех точность вычислений оказывается не высокой. Для повышения точности количество измерений обычно берут много больше порядка модели.

Для повышения точности и надежности работы в АСУТП широко используются алгоритмы по контролю достоверности исходной информации.

Задача повышения надёжности может решаться двумя путями:

1) одновременным замером одной и той же величины несколькими датчиками;

2) сравнением измеренной величины с результатом вычислений по математической модели.

Использование математической модели позволяет либо обнаружить и скорректировать источник недостоверной информации, либо установить нарушение математической модели, что может служить сигналом об аварийной ситуации.

В обоих рассмотренных случаях повышение надежности обеспечивается за счет использования избыточной информации.

Для выбора наиболее достоверного значения измеряемой величины при наличии избыточной информации широко используется алгоритм контроля достоверной информации (ДИ) по кворумной схеме 2 из 3, позволяющей выбрать наиболее достоверное значение из трёх значений одной и той же величины, полученных из различных источников.

Суть алгоритма состоит в следующем:

|x₁ – x₂| ≤ a₁; (1)

|x₁ – x₃| ≤ a₂; (2)

|x₂ – x₃| ≤ a₃, (3)

где x₁- исходное значение контролируемой величины;

x₂; x₃ - избыточные значения контролируемой величины;

a₁; a₂; a₃ - заданные константы.

№ п/п	Выполнение неравенств	Измеряемая величина
1	1, 2, 3	y = x1
2	1, 2	y = x1
3	1,3	y = x2
4	2, 3	y = x3
5	1	y = x1 и выдача сообщения о ненадежных источниках

В зависимости от выполнения неравенств (1), (2) и (3) выходной величине присваиваются значения, указанные в таблице.

Алгоритмы дискретного интегрирования и дифференцирования используются при расчёте суммарных показателей и формировании законов управления. Из существующих методов дискретного интегрирования на АСУТП наиболее широко используются:

• Метод прямоугольников;

• Метод трапеций;

• Метод парабол.

Метод прямоугольников является простейшим методом дискретного интегрирования, однако дает самую высокую погрешность вычисления. Его алгоритм записывается в виде:

S[n]= S[n-1]+ hx[n], (3.2.13)

где h- шаг интегрирования.

Методы трапеций и парабол, выражения (3.2.13) и (3.2.14), позволяют уменьшить погрешность, но требуют более сложных вычислений.

S[n]= S[n-1]+0.5h(x[n]+x[n-1]. (3.2.14)

S[n]=S[n-2]+1/3h{x[n]+4x[n-1]+x[n-2]}. (3.2.15)

Цифровое дифференцирование является более сложным, чем интегрирование. При реализации на УВМ алгоритмов дифференцирования чаще всего пользуются рекуррентными формулами вида:

. (3.2.16)

. (3.2.17)

. (3.2.18)

Чем большее число точек используется в алгоритме, тем точнее операция дифференцирования.

Алгоритмы по оценке значений контролируемой величины по измерению косвенных показателей используется в тех случаях, когда по ряду причин ту или иную переменную технологического процесса измерить невозможно, но для реализации закона управления она необходима. В этом случае производится измерение некоторой переменной, функционально связанной с искомой переменной. Значение же искомой переменной определяется решением функциональной зависимости, связывающей измеряемую и искомую переменные. В большинстве случаев эта зависимость в явном виде не задана, а может быть получена лишь в результате анализа экспериментальных данных. Поскольку в этом случае связь между переменными будет уже не детерминированная, а стохастическая она должна описываться регрессионными уравнениями.

Регрессионные уравнения – это аналитические зависимости, которые приближенно описывают связи между двумя или несколькими случайными величинами в результате обработки экспериментальных данных. Например, в случае линейной зависимости между искомой величиной y и измеряемыми параметрами x₁, x₂ , x₃ , связь между ними будет описываться уравнение регрессии вида:

y = a₀ + a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x₃ . (3.2.19)

При нелинейной зависимости между искомой и косвенными переменными, их связь, чаще всего, описывается квадратичными регрессионными полиномами. Например, если искомая переменная нелинейно зависит от двух косвенных переменных, то нелинейное уравнение регрессии может иметь вид:

y = a₀ + a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x₁² + a₄x₂² + a₅x₂x₁. (3.2.20)