3.4. Існування та невід’ємність розв’язку

Розглянемо модель імунної відповіді

,

, (3.8)

,

,

де t  0, 0  m  1, функція (m) визначена згідно (3.6).

Теорема 3.1. [2, c. 55-56] Нехай параметри моделі (3.8) і початкові умови (3.7) – невід’ємні числа.

Тоді для всіх t > 0 існує диференційовний, за винятком окремих точок, розв’язок задачі (3.8), (3.7).

Зауважимо, що внаслідок розриву початкової функції V(t) при t = 0, компонента розв’язку V(t) тільки неперервна для t = , але з ростом t її гладкість, як і всього розв’язку системи (3.8), зростає.

Теорема 3.2. Якщо виконуються умови теореми 3.1, то розв’язок початкової задачі (3.8), (3.7) невід’ємний для всіх t  0.

Доведення. Оскільки , то і при для деякого . Із рівняння (3.1) маємо:

,

Звідки

, (3.9)

для всіх , якщо V⁰  0. Зокрема, V(t)  0, якщо V⁰ = 0 і V(t) > 0, якщо V⁰ > 0.

Розглянемо тепер (3.4) як лінійне неоднорідне рівняння із неод-норідністю V(t). Розв’язок такого рівняння записується у вигляді [9]:

. (3.10)

Оскільки m⁰  0,   0 і V(t)  0 для t  0, то m(t)  0 для t  0. Зокрема, m(t) > 0, якщо m⁰ > 0 або V⁰ > 0.

Для t  [0, ), враховуючи умови (3.7), рівняння (3.2) запишемо у вигляді

.

Розв’язок цього лінійного рівняння

C(t) = ,

оскільки .

Із неперервності розв’язку F(t) випливає, що F(t) > 0 на деякому інтервалі , якщо F⁰ > 0. Якщо на існує точка t₁, в якій F(t₁) = 0 і t₁ – перша така точка. Тоді F (t₁)  0. Але на підставі (3.3)

що суперечить припущенню і тому F(t)  0 для t  [0, ].

Якщо F ⁰ = 0, то F (t) > 0 для t > 0. Тому F(t) > 0 для t  (0, t₂). Далі доведення аналогічне.

Нехай t  [, 2). Оскільки (m(t))  0, V(t)  0 для t  0 і F(t – )  0, t  [, 2), то

= (m(t))F(t – )V(t – ) – _c(C – C^*)  –_c(C – C^*).

Звідси для t  [, 2] одержимо

C(t)   0. (3.11)

Тепер можна показати, що F(t)  0 для   [, 2]. Ці міркування можна продовжити для t  [2, 3], [3, 4], ..., що завершує доведення теореми.

Наслідок 1. Якщо V⁰ > 0, то V(t) > 0 і m(t) > 0 для всіх t  0.

Нерівності випливають з (3.9) і (3.10).

Наслідок 2. Якщо в умовах теореми 3.2 C⁰  C^*, то C(t)  C^* для всіх t  0.

Справді,

C(t) = (C⁰ – C^*) + C ^*  C ^*, t  [0, ].

Для t >  доведення одержується із нерівності (3.11).

Біологічний зміст одержаної нерівності полягає в тому, що якщо концентрація плазмоклітин в початковий момент перевищує C ^*, то такий стан імунної системи збережеться і надалі.

Наслідок 3. Якщо C⁰ = C^*, то C(t) = C^* для t  [0, ] і C(t) > C^* для t > .

Наслідок 4. Якщо V⁰ > 0, 0 < C⁰ < C^*, то таке, що 0 < C(t) < C^*, t  (0, t₂); C(t₂) = C^* і C(t) > C^* для t > t₂.

Справді, (t) = –_c(C⁰ – C*) > 0, тому функція (3.10) зростає на (0, ₁), 0 <  < . Оскільки C(₁) = C * + (C₀ – C^*) < C^*, то t₂ > .

Якби t₂ = +, то = 0, причому C(t) < C^*. Звідси випливає, що (t)  +0, F(t)  +0,  C(t). Оскільки С() > C⁰, то T >  таке, що  t  T > 0.5C₀ > 0. Тому F(T) > F() + 0.5C₀(T – ), що суперечить F(t)  +0, коли t  .

Нехай t₃ > t₂ – перша точка, в якій C(t₃) = C^*, C(t₃)  0. Тоді

> 0,

що суперечить припущенню.