Тема 4. Двойственность в задачах линейного программирования

4.1. Прямая и двойственная задачи

В рамках этого раздела рассматриваются пары задач линейного программирования. Исходную задачу линейного программирования будем называть прямой. С каждой прямой задачей ЛП однозначным образом связана некоторая другая задача ЛП, называемая двойственной задачей. Таким образом, двойственная задача — это задача, формулируемая с помощью определенных правил непосредственно из прямой задачи. Кроме формально-математических соотношений между этими задачами можно установить содержательно-экономические взаимосвязи.

Прямая и двойственная задачи ЛП так тесно связаны, что оптимальное решение одной задачи можно получить непосредственно (т.е. без дополнительных вычислений) из симплекс-таблицы, представляющей оптимальное решение другой задачи.

Правила построения двойственных задач в канонической форме можно представить в виде таблицы (см. Табл. 9). Прямая и двойственная задачи в этих правилах равноправны, поэтому какую задачу считать прямой, а какую — двойственной зависит от контекста проблемы.. Задача, двойственная к двойственной, совпадает с исходной прямой задачей.

Табл. 9 Правила построения двойственной задачи

Задача максимизации		Задача минимизации
Ограничения		Переменные
=		Свободная
Переменные		Ограничения
Свободная		=

Пример.

Прямая задача:

Прямая задача в канонической форме:

Двойственная задача:

4.2. Экономическая интерпретация двойственной задачи

Как уже было отмечено выше, исходную задачу линейного программирования можно рассматривать как модель оптимального распределения ограниченных ресурсов (использования сырья), в которой целевая функция выражает прибыль или доход от производственной деятельности и подлежит максимизации. Соответствующая ей двойственная задача имеет экономическую интерпретацию как задача определения цен на ресурсы.

Приведем еще раз общую постановку прямой задачи линейного программирования как задачи оптимального распределения ресурсов (см. 2.2):

(4)

Двойственная к этой задача может быть сформулирована как задача определения цен на ресурсы.

Предположим, что вместо организации производства имеется возможность продажи ресурсов и необходимо определить цены на них. Обозначим эти цены через . Оценки могут быть установлены исходя из следующих требований, отражающих несовпадающие интересы организаций продающих и покупающих ресурсы:

1. Покупающая организация стремится минимизировать общую стоимость покупаемых ресурсов;

2. Предприятие, продающие ресурсы, может уступить их только по таким ценам, при которых оно получит за них выручку, не меньшую той, что могло бы получить, организовав собственное производство.

Эти требования приводят нас к следующей задаче линейного программирования:

(5)

Задачи линейного программирования (4) и (5) являются парой взаимно двойственных задач линейного программирования.

Таким образом, задача об определении оптимального плана производства и задача об определении оптимальных цен на ресурсы являются взаимно двойственными.