1. Проверка оптимальности или нахождение ведущего столбца.

• Если все коэффициенты в строке z-уравнения при небазисных переменных неотрицательны (коэффициенты в z-уравнении), то текущее базисное решение является оптимальным (условие оптимальности).

• В противном случае на следующей итерации в число базисных переменных вводим небазисную переменную которой соответствует наименьший отрицательный коэффициент в строке , т.е. номер определяется по правилу:

.

Столбец под номером s называется ведущим столбцом симплексной таблицы.

2. Проверка условия неограниченности решения задачи лп и нахождение ведущей строки (ведущего элемента).

• Если в ведущем столбце симплексной таблицы s нет положительных коэффициентов, то значение задачи ЛП неограниченно (нет оптимального решения) — условие неразрешимости;

• В противном случае (т.е. в ведущем столбце имеются положительные элементы) в качестве базисной переменной, которая исключается из числа базисных, выбирается та переменная , для которой отношение значения правой части ограничения к положительному коэффициенту ведущего столбца минимально, т.е.

.

Строка под номером r называется ведущей строкой, а элемент a_rs>0 –ведущим элементом (условие допустимости).

3. Преобразование симплексной таблицы.

• Используя эквивалентные преобразования таблицы (процедуру Гаусса) пересчитываем таблицу так, чтобы ведущий элемент новой симплекс-таблицы стал равным 1, а все остальные элементы ведущего столбца – равными 0.

Обозначим верхним индексом 1 элементы новой симплексной таблицы. Тогда формулы пересчета коэффициентов примут вид:

4. Перейти к исследованию новой симплексной таблицы (новая итерация).

Признак бесконечности множества допустимых решений. Если в -строке последней симплексной таблицы, содержащей оптимальный план, имеется хотя бы одна нулевая оценка, соответствующая небазисной переменной, то задача линейного программирования имеет бесконечное множество оптимальных планов.

Признак неограниченности целевой функции. Если в -строке симплексной таблицы задачи линейного программирования на максимум есть отрицательная оценка и в столбце, соответствующем этой оценке, нет ни одного положительного элемента, то целевая функция на множестве допустимых решений задачи не ограничена сверху.

Таким образом, последовательность вычислений (итераций) следующая:

Шаг 0. Находится начальное допустимое решение.

Шаг 1. На основе условия оптимальности определяется переменная, вводимая в базис. Если таких переменных нет, то вычисления заканчиваются.

Шаг 2. На основе условия допустимости выбирается исключаемая переменная.

Шаг 3. Методом Гаусса-Жордана вычисляется новое базисное решение. Переход к шагу 1.

Итерации симплекс-метода для задачи Reddy Mikks (ведущие строки и столбцы выделены цветом)

Базис	z	x1	x2	S1	S2	S3	S4	Решение
z	1	-5	-4	0	0	0	0	0
s1	0	6	4	1	0	0	0	24
S2	0	1	2	0	1	0	0	6
S3	0	-1	1	0	0	1	0	1
S4	0	0	1	0	0	0	1	2

Базис	z	x1	x2	S1	S2	S3	S4	Решение
z	1	0	-2/3	5/6	0	0	0	20
X1	0	1	2/3	1/6	0	0	0	4
S2	0	0	4/3	-1/6	1	0	0	2
S3	0	0	5/3	1/6	0	1	0	5
S4	0	0	1	0	0	0	1	2

Базис	z	x1	x2	S1	S2	S3	S4	Решение
z	1	0	0	3/4	1/2	0	0	21
X1	0	1	0	1/4	-1/2	0	0	3
x2	0	0	1	-1/8	3/4	0	0	3/2
S3	0	0	0	3/8	-5/4	1	0	5/2
S4	0	0	0	1/8	-3/4	0	1	1/2

Поскольку -строка не содержит отрицательных коэффициентов, соответствующих небазисным переменным , то полученное решение оптимально.

Обратите внимание, что последовательность базисных решений состоит в том, что итерационный процесс симплекс-метода начался в угловой точке А, затем, пройдя через точку В, закончился в крайней точке С — точке оптимума. Итерации соответствуют смежным крайним точкам границы области допустимых решений.

Пример.

	z	x1	x2	s1	s2
z	0	-5	-3	0	0
s1	4	1	1	1	0
s2	10	5	2	0	1

	z	x1	x2	s1	s2
z	10	0	-1	0	1
s1	2	0	3/5	1	-1/5
x1	2	1	2/5	0	1/5

	z	x1	x2	s1	s2
z	40/3	0	0	5/3	2/3
x2	10/3	0	1	5/3	-1/3
x1	2/3	1	0	-2/3	1/3

Ответ: