3.6. Симплекс-метод

Ключевой идеей симплекс-метода является то, что оптимальное решение задачи ЛП всегда связано с угловой точкой пространства допустимых решений. Для перехода от геометрического к алгебраическому методу решения необходимо алгебраически описать крайние точки пространства решений, для чего задачу следует представить в некоторой стандартной форме.

Каноническая форма задачи ЛП

или .

Правила преобразования задачи ЛП в каноническую форму

.

Множество допустимых решений задачи имеет вид

,

называется многогранным и является выпуклым и замкнутым

Задача ЛП, записанная в канонической форме содержит линейных уравнений с переменными ( ).Если , то существует единственное решение, в котором переменных соответствуют базису матрицы , а остальные равны 0, причем это решение соответствует угловой (крайней) точке множества допустимых решений. При этом соответствующие переменных называют базисными, а остальные нулевых переменных — небазисными. Все вместе эти переменные составляют базисное решение. Если все переменные базисного решения неотрицательны, то такое базисное решение называют допустимым базисным решением.

Понятие базисного решения — основа симплекс-метода. Оказывается, что для нахождения оптимального решения достаточно ограничиться рассмотрением только базисных (допустимых базисных) решений в силу справедливости следующих утверждений (теорем).

• Если у системы линейных уравнений (СЛУ) существует решение, то существует и базисное решение этой СЛУ;

• Если задача ЛП имеет допустимое решение, то она имеет и допустимое базисное решение;

• Если задача ЛП имеет оптимальное решение, то она имеет и оптимальное базисное решение.

В силу справедливости последнего утверждения, вычислительный алгоритм линейного программирования (симплекс-метод) основан на нахождении именно оптимального базисного решения и оперирует только с допустимыми базисными решениями.

Алгоритм симплекс-метода находит оптимальное решение, перебирая допустимые базисные решения, причем не все подряд, а пытается на каждом шаге найти допустимое базисное решение «улучшающее» значение целевой функции.

Запишем задачу Reddy Mikks в канонической форме

Здесь — дополнительные переменные, добавленные в неравенства для преобразования их в равенства. Заметим, что задача записана в т.н. предпочтительной форме: каждая из переменных входит с коэффициентом 1 только в одно уравнение. В этом случае легко найти начальное допустимое базисное решение (опорный план). Приведенный ниже способ составления и решения симплекс-таблиц справедлив именно для задач линейного программирования, записанных в предпочтительной форме. В других случаях нахождение опорного плана может представлять трудность и требуется введение искусственного базиса (или использование метода штрафов).

Симплексная таблица

Базис	z	x1	x2	S1	S2	S3	S4	Решение
z	1	-5	-4	0	0	0	0	0
s1	0	6	4	1	0	0	0	24
S2	0	1	2	0	1	0	0	6
S3	0	-1	1	0	0	1	0	1
S4	0	0	1	0	0	0	1	2

Дополнительные переменные образуют начальное допустимое базисное решение, при этом небазисные переменные равны нулю.

Алгоритм симплекс-метода. Симплекс-метод состоит в последовательном выполнении шагов-итераций.