3.4. Анализ чувствительности в задачи Reddy Mikks (2).

В данном случае дефицитными (т.е. использованными полностью) являются (см. Рис. 2) следующие ресурсы:

1. Ресурс (1), соответствующий запасу сырья А;

2. Ресурс (2), соответствующий запасу сырья В.

Рис. 2

При изменении запаса сырья (т.е. при изменении значения правой части ограничения (1)) точка , которая является точкой пересечения прямых (1) и (2) и соответствует оптимальному решению, движется вдоль отрезка . Увеличение запаса сырья , приводящее к выходу точки из этого отрезка, ведет к неосуществимости оптимального решения в точке . Поэтому точка определяет предельное увеличение запаса сырья . Количество сырья, соответствующее точке равно 36 т. Таким образом, уровень запаса сырья может быть увеличен не более чем на 12 т., при дальнейшем увеличении запаса этот ресурс становится избыточным.

Аналогично точка определяет максимально возможное увеличение запаса сырья : количество сырья , соответствующее этой точке равно т. Отсюда получаем, что уровень запаса сырья может быть увеличен не более чем на т.

Итак, запас ресурса может быть увеличен не более чем на 12 т., в то время как запас ресурса — не более чем на т.

Мерой чувствительности решения является стоимость (ценность) единицы ресурса. При изменении количества доступного ресурса на единицу (в пределах допустимого увеличения) значение целевой функции в оптимальном решении изменится на стоимость единицы ресурса.

Если обозначить стоимость ресурса через , то получим следующую формулу вычисления стоимости ресурса

.

В рассматриваемой задаче стоимость ресурса

(тысяч долларов на тонну сырья А),

а стоимость ресурса

(тысяч долларов на тонну сырья В).

Для определения пределов изменения коэффициентов целевой функции при условии сохранения найденного оптимального решения необходимо заметить, что изменение коэффициентов целевой функции влияет на наклон прямой линии уровня целевой функции, это может привести к тому, что оптимальное решение будет достигаться в другой угловой точке пространства допустимых решений.

На Рис. 3 видно, что при изменении коэффициентов целевой функции точка остается точкой оптимального решения до тех пор, пока угол наклона линии будет лежать между углами наклона прямых, пересечением которых является точка : прямых, соответствующих ограничениям (1) и (2).

Рис. 3

Математически это условие можно записать следующим образом:

или

Итак, если коэффициенты и удовлетворяют этим неравенствам, то оптимальное решение будет достигаться в точке .

3.5. Задания для самостоятельной работы

Задание:

1. Построить математическую модель проблемы принятия решения;

2. Решить задачу графическим способом;

3. Исследовать решение на чувствительность.

Результаты решения следует оформить в виде отчета, который должен содержать:

1. Описание проблемы принятия решения;

2. Математическую постановку соответствующей задачи линейного программирования, в т.ч. введенные переменные, целевую функцию, ограничения;

3. Графическое решение полученной задачи линейного программирования, в т.ч. область допустимых решений, линию уровня и градиент целевой функции, оптимальное решение и значение целевой функции;

4. Исследование решения на чувствительность, в т.ч. статус ограничений и соответствующих ресурсов, допустимые диапазоны изменения ресурсов, стоимости ресурсов, диапазоны изменения коэффициентов целевой функции.

1. Небольшая компания “Иванов и сотоварищи” производит двери, которые продаются в строительных магазинах. Компания производит двери двух типов — “Гранд” и “Челси”. Дверь “Гранд” стоит $30, а “Челси” — $40. Рыночная ситуация складывается таким образом, что спрос на продукцию компании практически неограничен. На производстве дверей в компании занято 8 рабочих, которые, по соглашению с профсоюзом, могут работать не более 40 часов в неделю с почасовой оплатой $6. Для производства дверей требуется дерево и стекло. В течение недели компания может закупить 600 кв.м. дерева по цене $4 за кв.м. и 300 кв.м. стекла по цене $16 за кв.м. Для производства одной двери типа “Гранд” требуется 2 кв.м. дерева и 0,5 кв.м. стекла. А для производства одной двери типа “Челси” необходимо 1,5 кв.м. дерева и 1 кв.м. стекла. На производство (обработка и сборка) одной двери, независимо от типа, рабочий затрачивает 1 час. Руководство хотело бы знать: как можно оптимизировать работу компании.

2. Фирма Giapetto’s Woodcarving Inc. производит два вида деревянных моделей-игрушек: солдатиков и локомотивы. Каждый деревянный солдатик продается по $27 и для своего производства требует расходных материалов на $10. Производство одного солдатика увеличивает расходы фирмы (налоги, накладные расходы, зарплата) на $14.

Деревянный локомотив продается по $21 и для своего производства требует расходных материалов на $9. Производство одного локомотива увеличивает расходы фирмы (налоги, накладные расходы, зарплата) на $10.

При производстве этих игрушек выполняются две технологические операции: сборка и покраска. Для производства одного солдатика необходимо 2 часа на покраску и 1 час на сборку. Для производства одного локомотива — 1 час на покраску и 1 час на сборку.

В настоящий момент фирма не испытывает недостатка в расходных материалах, но на сборку в течение недели может быть выделено только 80 часов, а на покраску — 100 часов, что вызвано производственными ограничениями. Отдел маркетинга утверждает, что локомотивы раскупаются в неограниченном количестве, а солдатиков продается не более 40 штук в неделю.

Необходимо определить, каким образом фирма может увеличить свой еженедельный доход.

3. Компания Case Chemicals Co. производит 2 типа промышленных растворов С1 и С2. Завод по производству растворов работает по 40 часов в неделю, на нем на 7 производственных комплексах заняты 5 рабочих на полной ставке и 2 на временной, работающих по 15 часов в неделю. В соответствии с соглашением с профсоюзом на подобном вредном производстве может быть использовано 230 рабочих часов в неделю.

После производства продукция поступает на участок очистки, на котором занято на 7 комплексах 6 рабочих на полной ставке и 1 рабочий на временной, работающий по 10 часов в неделю. Всего, в соответствии с соглашением с профсоюзами, на участке очистки может быть использовано 250 рабочих часов в неделю.

Расход времени (в часах) на производство и очистку приведен в Табл. 5

Табл. 5 Данные компании Case Chemicals Co

	С1	С2
Производство	2	1
Очистка	1	2

Расходных материалов достаточно для производства любого количества растворов, спрос на раствор С1 практически неограничен, а спрос на С2 — 120 000 л. в неделю. Цена продажи раствора С1 — $3 на 1000 л., а С2 — $5. Так как все рабочие получают фиксированную зарплату независимо от количества отработанных часов, то эти расходы фиксированы и не включены в доход фирмы.

Необходимо определить каким образом фирма может повысить свою прибыль.

4. Небольшая фирма Sunglass производит по заказу партиями стеклянную посуду — наборы фужеров для сока и коктейлей. Для производства этой посуды фирма закупила специальное оборудование, производственная линия которого которое может быть настроено на производство либо фужеров для сока, либо для коктейлей. Переключение оборудования с одного на другой тип продукции происходит достаточно быстро, так что этим временем можно пренебречь при планировании. При производстве фужеров для сока — за 6 часов может быть изготовлено 100 наборов. Если производить фужеры для коктейлей — производительность составляет 100 наборов за 5 часов. В течение недели, в соответствии с трудовым соглашением, оборудование может быть занято не более чем на 60 часов. Произведенная продукция хранится на складе фирмы емкостью 1 500 кубических метров. Упаковка с набором фужеров для сока занимает 1 м³, а упаковка с набором для коктейлей — 2 м³.

Наборы для сока продаются по цене $5, наборы для коктейлей стоят $4,5. Однако спрос на наборы для сока не превышает 800 штук в неделю, в то время как все произведенные наборы для коктейлей продаются в течение недели.

Менеджеру фирмы необходимо наилучшим образом спланировать недельный производственный план.

5. Магазин продает два вида безалкогольных напитков: Кока–Колу и квас. Доход от одной банки колы составляет 5 центов, а от кваса — 7 центов. В среднем магазин продает не более 500 банок обоих напитков ежедневно. Несмотря на то, что Кока-Кола известная торговая марка, покупатели предпочитают квас, поскольку они значительно дешевле и вкуснее. Отделом продаж определено, что объемы продаж колы и кваса в натуральном исчислении должны соотноситься не менее чем 1:2. Кроме того, известно, что магазин продает не менее 100 банок колы в день.

Как наилучшим образом спланировать руководству магазина запасы напитков в начале дня?

6. Мебельная фабрика для сборки столов и стульев привлекает к работе на 10 дней четырех столяров. Каждый столяр затрачивает 2 часа на сборку стола и 30 минут — на сборку стула. Покупатели обычно приобретают вместе со столом от четырех до шести стульев. Доход от одного стола составляет $135 и $50 — от одного стула. На фабрике установлен 8-часовой рабочий день.

Руководство фабрики хотело бы оптимизировать свое производство.

7. Банк в течение нескольких месяцев планирует вложить до $200 000 в кредитование частных лиц и покупок автомобилей. Банковские комиссионные составляют 14% при кредитовании частных лиц и 12% при кредитовании покупок автомобилей. Оба типа кредитов возвращаются в конце годичного периода кредитования. Известно, что 3% клиентских и 2% автомобильных кредитов никогда не возвращаются. Объемы кредитов на покупку автомобилей обычно более чем в 2 раза превышают объемы кредитов для частных лиц.

Руководство банка хотело бы знать, как можно оптимизировать размещение средств по указанным типам кредитов.

8. Завод производит 2 типа микросхем, каждый на отдельно линии. Производительность этих линий составляет 600 и 750 микросхем в день. Для производства микросхем первого типа необходимо 10 единиц некоторого комплектующего, а второго типа — 8 единиц этого же комплектующего. Поставщик может обеспечить на день 8 000 единиц этого комплектующего. Доход от микросхем первого типа составляет $60, а второго — $40.

Каким образом можно оптимально спланировать производство?

9. Мебельная фабрика собирает из готовых комплектующих 2 вида кухонных шкафов: обычные и люкс. Обычный шкаф покрывается белой краской, а люкс — лаком. Покраска и покрытие лаком производятся на одном производственном покрасочном участке. Сборочная линия фабрики ежедневно может собирать не более 200 обычных шкафов и 150 шкафов типа люкс. Лакирование шкафа типа люкс требует вдвое больше времени, чем покраска одного простого шкафа. Если покрасочный участок занят только лакированием, то за день здесь можно подготовить 180 шкафов типа люкс. Фабрика оценивает доход от обычных шкафов и шкафов люкс в $100 и $140 соответственно.

Составьте оптимальное ежедневное расписание работы покрасочного участка.

10. Фирма Wild West выпускает ковбойские шляпы двух типов (А и В). Производство шляпы первого типа требует в 2 раза больше временных ресурсов, чем производство шляпы второго типа. Если бы фирма выпускала только шляпы типа В, суточный объем производства мог бы составить 400 таких шляп. Рынок накладывает ограничения: суточный объем сбыта шляп типа А не более 150, а шляп типа В — 200 штук. Доход от производства шляп типа А составляет $8, а шляп типа В — $5. Определить, как наилучшим образом спланировать производство шляп.

11. Компания производит два вида продукции: А и В. Объем продаж продукта А составляет не менее 80% от общего объема продаж продуктов А и В. Вместе с тем компания не может производить более 100 единиц продукта А в день. Для производства этих продуктов используется одно и то же сырье, поступление которого ограничено 240 кг. в день. На изготовление единицы продукта А расходуется 2 кг. сырья, а продукта В — 4 кг. Цена одной единицы продукции А и В составляет $20 и $50 соответственно.

Как руководству составить оптимальную структуру производства компании?

12. Компания имеет возможность рекламировать свою продукцию по местному радио и телевидению. Бюджет на рекламу ограничен $10 000 в месяц. Одна минут рекламного времени на радио стоит $15, а на телевидении — $300. Компания предполагает, что реклама на радио по времени должна превышать рекламу на телевидении не менее чем в 2 раза. Вместе с тем известно, что нерационально использовать более 400 минут рекламы на радио в месяц. Последние исследования показали, что реклама на телевидении в 25 раз эффективнее рекламы на радио.

Как оптимальным образом спланировать рекламу?

13. Компания Woodco производит столы и стулья, которые делаются из дуба и из сосны. Компания имеет в своем распоряжении 150 кв. м. дуба и 210 кв. м. сосны. Для производства одного стола требуется 17 кв.м. дуба и 30 кв.м. сосны. Для производства одного стула необходимо 5 кв.м. дуба и 13 кв.м. сосны. Стоимость одного стола $40, одного стула — $15. Требуется определить: каким образом компания Woodco может максимизировать свою прибыль.

14. Компания Bloomington Brewery производит пиво и эль. Пиво продается по цене $5 за декалитр, а эль — $2. Для производства одного декалитра пива необходимо 5 кг. зерна и 2 кг. хмеля, а для производства эля — 2 кг. зерна и 1 кг хмеля. В распоряжении компании имеется 60 кг. зерна и 25 кг. хмеля. Необходимо определить каким образом компания может увеличить свою прибыль.

15. Компания Burroughs производит мужские рубашки и женские блузки. Торговая сеть принимает всю продукцию, произведенную фирмой. Производство швейного изделия состоит из раскроя, пошива и упаковки готового изделия. На участке раскроя работают 25 человек, непосредственно на пошиве изделий — 35 человек и 5 человек занято на упаковке. Компания работает в одну смену (8 часов) пять дней в неделю. Трудозатраты (в минутах на изделие) на выпускаемые изделия и доход от них приведены в Табл. 1.

Табл. 6 Данные компании Burroughs

Изделие	Операция
	Раскрой	Пошив	Упаковка	Доход ($ на изделие)
Рубашка	20	70	12	2,50
Блузка	60	60	4	3,20

Компании необходимо наилучшим образом спланировать свое производство.

16. Завод бытовой химии производит 2 вида чистящих средств, А и В, используя при этом сырье1 и 2. Обработка одной единицы сырья 1 стоит $8, в результате производится 0,5 единицы средства А и столько же средства В. Обработка одной единицы сырья 2 стоит $5, в результате получается 0,6 единиц средства А и 0,4 единицы средства В. Ежедневное производство средства А должно быть не менее 10 и не более 15 единиц. Аналогичные ограничения для средства В составляют 12 и 20 единиц.

Как наилучшим образом спланировать выпуск чистящих средств?

17. Мебельная фирма Red Joiner производит и продает столы и шкафы и древесины хвойных и лиственных пород. Расход каждого вида древесины в кубометрах на каждое изделие приведен в Табл. 7.

Табл. 8 Данные фирмы Red Joiner

	Хвойные	Лиственные	Цена изделия (тыс. руб.)
Стол	0,15	0,2	0,8
Шкаф	0,3	0,1	1,5
Запас древесины	80	40

Менеджеру фирмы необходимо определить оптимальный производственный план для получения максимального дохода.

18. Исследовательская компания D&L Social Engineering планирует проведение маркетингового опроса. Для проведения опроса руководители компании рассматривают возможность привлечения, наряду со штатными сотрудниками компании, студентов факультета социологии. Привлечение одного студента обходится компании в $1000, зарплата и прочие расходы в расчете на одного штатного сотрудника составляют $2000. В то же время, по опыту прошлых исследований, известно, что использование в исследовании более 75% студентов от общего числа исполнителей проекта нецелесообразно, так как качество их работы хуже. Кроме того, каждый штатный сотрудник может провести и обработать 8 интервью, а студент — только 6. Для координации работы на каждых 3 студентов выделяется 1 координатор, для штатных сотрудников требуется 1 координатор на 6 человек, всего компания имеет возможность привлечь к работе над проектом не более 10 координаторов (зарплата координаторов не входит бюджет исследования). Бюджет исследования ограничен $60 000. Руководство компании полагая, что увеличение количества интервью повышает достоверность исследования, хотело бы определить оптимальный состав исполнителей исследования.

19. Исследовательская компания D&L Social Engineering планирует проведение маркетингового опроса. Для проведения опроса руководители компании рассматривают возможность привлечения, наряду со штатными сотрудниками компании, студентов факультета социологии. Привлечение одного студента обходится компании в $1000, зарплата и прочие расходы в расчете на одного штатного сотрудника составляют $2000. В то же время, по опыту прошлых исследований, известно, что использование в исследовании более 75% студентов от общего числа исполнителей проекта нецелесообразно, так как качество их работы хуже. Кроме того, каждый штатный сотрудник может провести и обработать 8 интервью, а студент — только 6, для репрезентативности исследования требуется не менее 120 интервью. Для координации работы на каждых 3 студентов выделяется 1 координатор, для штатных сотрудников требуется 1 координатор на 6 человек, всего компания имеет возможность привлечь к работе над проектом не более 10 координаторов. (зарплата координаторов не входит бюджет исследования) Бюджет исследования ограничен $60 000. Руководство компании не считает, что увеличение количества интервью повышает достоверность исследования, и хотело бы определить оптимальный состав исполнителей исследования.

20. Farmer Jones bakes two types of cake (chocolate and vanilla) to supplement his income. Each cake can be sold for $1, and each vanilla cake can be sold for 50¢. Each chocolate cake requires 20 minutes of baking time and uses 4 eggs. Each vanilla cake requires 40 minutes of baking and uses 1 egg. Eight hours of baking time and 30 eggs are available. How farmer Jones can maximize the revenue? (A fractional number of cakes is okay.)