2.3. Пример задачи линейного программирования

Небольшая компания Reddy Mikks производит два вида красок: для наружных и внутренних работ. Краска обоих видов поступает в продажу: доход от продажи одной тонны краски для наружных работ составляет $5000, а краски для внутренних работ — $4000. Для производства обоих видов краски используются сырье двух типов — А и В. Максимально возможные ежедневные запасы сырья составляют 24 и 6 тонн, соответственно. Исходные данные: расход сырья для производства одной тонны краски каждого вида, максимально возможные запасы сырья и доход от продажи краски каждого вида приведены в Табл. 1.

Табл. 1 Исходные данные для задачи о производстве красок

	Расход сырья (в тоннах) на тонну краски		Максимально возможный ежедневный запас сырья (в тоннах)
	для наружных работ	для внутренних работ
Сырье А	6	4	24
Сырье В	1	2	6
Доход (в $1000) на тонну краски	5	4

После изучения рынка сбыта отдел маркетинга компании ограничил ежедневное производство краски для внутренних работ до 2 т. (из–за отсутствия надлежащего спроса), а также поставил условие, чтобы ежедневное производство краски для внутренних работ никогда не превышало более чем на одну тонну производства краски для внешних работ.

Компания хотела бы определить, каким образом она может увеличить свой ежедневный доход.

Решение.

Задача (модель) линейного программирования, как и любая задача исследования операций, включает в себя три основные элемента, подлежащие определению и формализации:

1. Переменные, значения которых подлежат изменению;

2. Целевая функция, которую необходимо оптимизировать;

3. Ограничения, которым должны удовлетворять переменные.

Введем обозначения

— ежедневный объем производства краски для наружных работ;

— ежедневный объем производства краски для внутренних работ.

В соответствии с этими обозначениями, целями компании и имеющимися ограничениями получаем следующую математическую модель

(2)

2.4. Примеры постановок задач линейного программирования

Для каждой проблемы принятия решений необходимо составить математическую модель в виде задачи линейного программирования.

1. Банк Thriftem изучает вопрос формирования портфеля кредитов объемом 12 миллионов долларов. В таблице представлены характеристики различных типов кредитов, предоставляемых банком.

Табл. 2 Типы кредитов, предоставляемых банком Thriftem

Тип кредита	Ставка процента	Вероятность безнадежных долгов
Кредиты физическим лицам	0,140	0,10
Кредиты на покупку автомобилей	0,130	0,07
Кредиты на покупку жилья	0,120	0,03
Сельскохозяйственные	0,125	0,05
Коммерческие	0,100	0,02

Согласно банковским правилам безнадежные долги считаются невозвратимыми, поэтому должны вычитаться из возможного дохода.

Конкурентная ситуация вынуждает банк не менее 40% капитала помещать в сельскохозяйственные и коммерческие кредиты. Для содействия развитию строительной индустрии своего региона банк планирует вложить в кредиты на покупку жилья не менее 50% от общей сумм кредитов физических лиц, на покупку автомобилей и жилья. Банк также поддерживает политику, указывающую, что отношение безнадежных долгов ко всей сумме кредитов не должно превышать 0,04.

Руководство банка хотело бы оптимизировать портфель кредитов.

Ответ.

Обозначим через объем кредитов, предоставляемых физическим лицам, через — направляемых на покупку автомобилей, — на покупку жилья, — сельскохозяйственных и — коммерческих кредитов. Тогда математическая постановка задачи имеет вид:

2. Автомобильная компания Drive подготовила к выпуску на рынок новые модели лимузина и джипа. Отдел маркетинга компании настаивает на том, что основными потенциальными клиентами новой продукции являются женщины и мужчины с высоким уровнем доходов. Для привлечения таких клиентов компания решила провести рекламную компанию и использовать рекламу на телевидении. Рекламные ролики (продолжительностью 1 минута) решено разместить в комедийных шоу или в спортивных передачах. Анализ аудитории показывает, что каждый рекламный ролик, размещенный в шоу, смотрят в среднем 7 млн. женщин и 2 млн. мужчин целевой группы. Рекламный ролик в спортивной передаче смотрят, соответственно, 2 млн. женщин и 12 млн. мужчин из целевой группы. Стоимость рекламного ролика, размещенного в шоу, составляет $50 000, а в спортивной передаче — $100 000. Отдел продаж компании утверждает, что для того, чтобы продажи были успешными рекламу должны посмотреть не менее 28 млн. женщин и не менее 24 млн. мужчин из целевой группы.

Как руководству Drive наилучшим образом спланировать рекламную компанию?

Ответ.

Обозначим через число рекламных роликов, размещаемых в шоу, — в спортивных передачах. Математическая постановка имеет вид:

3. Продовольственная компания Sunfood поставляет 4 различных типа пищевых добавок для зоопарка. Цены на эти продукты равны, соответственно, $50, $20, $30 и $80. Согласно нормативным требованиям суммарная энергетическая ценность добавок в ежедневном рационе должна быть не менее 2 500 ккал, а также в рационе должно быть не менее 6 единиц витамина А, 10 единиц витамина В и 8 единиц витамина С. Вместе с полезными веществами добавки содержат примеси, количество которых ежедневно не должно превышать 5% от общего количества. Энергетическая ценность и содержание витаминов и примесей в пищевых добавках приведены в Табл. 3.

Табл. 3 Исходные данные проблемы Sunfood

Тип пищевой добавки	Энергетическая ценность 1 ед. (в ккал.)	Количество единиц витамина А в 1 ед. добавки	Количество единиц витамина В в 1 ед. добавки.	Количество единиц витамина С в 1 ед. добавки.	Процент содержания примесей
I	400	3	2	2	1
II	200	2	2	4	0,5
III	150	0	4	1	0
IV	500	0	4	5	2

Компания хотела бы определить наилучшую рецептуру смеси из производимых ею пищевых добавок с учетом всех требований.

Ответ.

Через обозначим количество единиц добавки I, чрез — добавки II, — добавки III, — добавки IV. Тогда

4. Для работы в новом офисе компании Expert Service менеджер по персоналу набирает новых сотрудников на полную ставку. Минимальная потребность в сотрудниках в различные дни недели приведены в Табл. 4.

Табл. 4 Потребности в персонале компании Expert Service

Понедельник	Вторник	Среда	Четверг	Пятница	Суббота	Воскресенье
17	13	15	19	14	16	11

Согласно соглашению с профсоюзом работник, нанятый на полную ставку, должен отработать подряд 5 дней, а затем иметь подряд 2 дня отдыха.

Как наилучшим образом составить расписание?

Ответ.

Через обозначим число работников, начинающих работу в день . Тогда