Тема 6. Линейные задачи транспортного типа

6.1. Постановка транспортной задачи

Транспортные модели (задачи) — специальный класс задач линейного программирования. В классической постановке эти модели описывают перемещение (перевозку) какого-либо товара из пункта отправления (например, места производства продукции) в пункт назначения (склад, магазин и т.п.). Назначение транспортной задачи — определение объемов перевозок из пунктов отправления в пункты назначения с минимальной суммарной стоимостью перевозок. При этом должны быть учтены ограничения, связанные с объемом предложения (производства) и спроса (потребности). Предполагается, что стоимость перевозки по маршруту прямо пропорциональна объему груза, перевозимого по этому маршруту.

В общем виде задача транспортного типа может быть сформулирована следующим образом.

Имеется пунктов производства (иногда их называют пунктами отправления) с объемами производства, равными соответственно. Рассматривается также пунктов потребления (пунктов назначения) с объемами потребления (спросом) соответственно. Известны транспортные издержки (затраты) по перевозке единицы продукции из каждого пункта производства в каждый из пунктов потребления: — стоимость перевозки единицы продукции из пункта производства в пункт потребления  ( ). Задача состоит в определении плана перевозки продукции из пунктов производства в пункты потребления, минимизирующего суммарные транспортные расходы и удовлетворяющего ограничениям на объемы предложения и спроса.

Обозначим через матрицу транспортных издержек (тарифов). Рассмотрим матрицу перевозок (переменных) где — количество единиц продукции, которые необходимо доставить из -го пункта производства в -й пункт потребления. Предполагается, что все .

С учетом введенных обозначений математическая модель транспортной задачи принимает вид:

(6)

Для наглядности модель транспортного типа можно представить в виде таблицы (называемой также транспортной или распределительной таблицей):

Табл. 20 Транспортная таблица

Пункт производства	Объем производства	Пункт потребления
						……
		Объем потребления
						……
						……
						……
……	……	……		……			……
						……

Транспортную таблицу называют иногда табличной или матричной моделью транспортной задачи.

Задачи транспортного типа часто представляют в сетевой постановке, в которой каждому пункту производства или потребления соответствует своя вершина, а возможным способам перевозки — ребро сети с указанной стоимостью перевозки единицы продукции. Для сетевых моделей (задач о кратчайшем пути, максимальном потоке и т.д.) разработаны специальные эффективные методы решения.

Необходимо отметить целочисленный характер транспортной задачи (в первую очередь ее решения), поэтому транспортные задачи относятся также к целочисленному программированию, для которого тоже существуют специальные алгоритмы решения.