Знакопеременные ряды.

Знакопеременный ряд – это ряд, содержащий как положительные, так и отрицательные члены. Знакочередующиеся ряды – ряды, в которых за каждым положительным членом следует отрицательный, а за каждым отрицательным – положительный. Знакочередующийся ряд - частный случай знакопеременного ряда.

Знакочередующийся ряд можно записать в виде:

Признак Лейбница (достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда).

Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и , то ряд сходится, а его сумма . (без доказательства)

Пример.

Исследовать на сходимость ряд

, , следовательно, ряд сходится по признаку Лейбница.

Замечание. Пусть знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница, и его сумма равна . Оценим ошибку, которую можно допустить при замене суммы ряда на частичную сумму: . Остаток знакочередующегося сходящегося ряда это тоже знакочередующийся сходящийся ряд (отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость) и тогда по признаку Лейбница . Таким образом, остаток сходящегося знакочередующегося ряда по абсолютной величине не превосходит первого из отбрасываемых членов ряда. Это свойство используется в приближенных вычислениях.

Теорема (достаточный признак сходимости знакопеременного ряда). Знакопеременный ряд сходится, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов. (без доказательства)

Замечание. Указанный признак не является необходимым. Существуют знакопеременные ряды, которые сами сходятся, а ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся. Такие ряды имеют особые названия. Знакопеременный ряд, для которого сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов, называется абсолютно сходящимся. Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Примеры.

Исследовать на сходимость ряд

По признаку Лейбница данный ряд сходится. Ряд из абсолютных величин – гармонический ряд расходится. Следовательно, исходный ряд сходится условно.

Исследовать на сходимость ряд

Рассмотрим ряд из абсолютных величин . Применим признак Даламбера:

Следовательно, ряд сходится, исходный ряд сходится абсолютно.

Замечание. Перестановка членов абсолютно сходящегося ряда не влияет на его сходимость и не изменяет его сумму. От перестановки членов условно сходящегося ряда можно получить ряд, имеющий любую наперед заданную сумму, и даже расходящийся ряд.