5. Пример выполнения ргз

Задача 1. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом . Записать сумму ряда.

Решение

Построим график функции f(x):

Функция непрерывна в каждой точке промежутка , следовательно,

удовлетворяет условиям Дирихле, поэтому её можно разлагать в ряд Фурье.

Записываем вид ряда Фурье и формулы для его коэффициентов для -периодической функции:

;

; ; ;

Вычисляем коэффициенты Фурье для данной функции :

;

Таким образом, для данной функции коэффициенты Фурье получились следующими

Подставляем вычисленные коэффициенты в ряд Фурье и выясняем его сходимость:

;

Так как исходная функция является непрерывной при , то по теореме Дирихле заключаем, что соответствующий этой функции ряд Фурье сходится к значениям самой этой функции при . Поэтому сумму составленного ряда запишем так:

.

Проверка достоверности разложения:

построим график функции , равной такой частичной сумме полученного ряда Фурье, чтобы графики функций и визуально совпадали. В данной задаче такое совпадение наблюдается, если взять

.

Так как в данной задаче сумма ряда Фурье совпадает с функцией , для которой этот ряд составлен, то в ответ можно записать знак равенства между функцией и её рядом Фурье при .

Ответ: .

Задача 2. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом . Построить график суммы ряда.

Решение

Построим график исходной функции :

Функция является непрерывной, поэтому удовлетворяет условиям Дирихле, следовательно, может быть представлена рядом Фурье при .

Записываем вид соответствующего ряда Фурье для -периодической функции и формулы для его коэффициентов

;

; ; ;

Данная функция является четной, поэтому её коэффициенты Фурье можно вычислить по упрощенным формулам, которые учитывают четность функции:

Вычисляем коэффициенты для данной в задаче функции:

Подставляем посчитанные коэффициенты в записанный формально ряд Фурье:

Убедимся в достоверности полученного разложения, построив графики и :

Сумма ряда совпадает с при , поэтому график суммы такой же, как и график .

Ответ: .

Задача 3

Составить ряд Фурье по синусам, сходящийся на интервале к значениям функции .

Решение

С читаем, что функция задана на половине периода и продолжаем её на вторую половину нечётным образом:

Функция (дополненная ) может быть разложена в ряд Фурье, так как является кусочно-непрерывной и множество значений аргумента, при которых функция терпит разрыв, является счётным (все разрывы первого рода типа скачка).

Рабочие формулы:

, где , .

Вычисление коэффициентов :

Т.о., (по теореме Дирихле).

Подтверждение достоверности: .

Ответ: .

Задача 4

Составить ряд Фурье в комплексной форме для функции . Определить амплитудный спектр функции.

Решение

1. Построим график исходной функции, учитывая её периодичность:

Функция является кусочно-непрерывной, имеет разрывы только первого рода и они образуют счётное множество, поэтому удовлетворяет условиям Дирихле, следовательно, может быть представлена рядом Фурье. Записываем вид этого ряда в комплексной форме и формулы для его коэффициентов:

.

Вычисляем коэффициенты для комплексной формы :

Подставляем коэффициенты и получаем ряд Фурье в комплексной форме для данной функции:

.

Запишем сумму составленного ряда по теореме Дирихле:

, - периодическая с

2. Запишем полученный ряд Фурье в действительной форме, воспользовавшись формулами :

Построим графики частичных сумм ряда Фурье в действительной форме

,

увеличивая количество членов ряда k до визуального совпадения графиков частичной суммы и исходной функции :

	1		2
График
		3	4
График
		5	10
График
		15	250
График

3. Определим дискретный амплитудный спектр заданной функции и построим его график:

В данной задаче ;

	1	2	3	4	5	6	7	8
прибл.	76.228	60.264	47.274	38.114	31.652	26.950	23.413	20.670
	9	10	11	12	13	14	15	250
прибл.	18.488	16.714	15.245	14.011	12.959	12.052	11.264	0.682

Ответ: ; ,