Примеры задач на теоремы сложения и умножения вероятностей
Пример 1.
Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность
того, что в течение часа первый станок
потребует внимания рабочего, равна
,
второй -
,
третий -
и четвертый -
.
Вычислить вероятность того, что только
один станок в течение часа потребует
внимания рабочего.
Решение.
Событие - только один станок потребует внимания рабочего.
События
События
-
несовместные.
Ответ: 0,198.
Пример 2. В условиях примера 1 вычислить вероятность того, что в течение часа внимания рабочего потребуют два станка.
Решение.
1. Событие - внимания рабочего потребуют два станка;
2.
События
События
- несовместные.
Ответ: 0,38.
Пример 3. В условиях примера 1 вычислить вероятность того, что в течение часа внимания рабочего потребуют три станка.
Решение.
1.Событие
- внимания рабочего потребуют три станка;
2.События
События
- несовместные.
Ответ: 0,302.
Пример 4. В условиях примера 1 вычислить вероятность того, что в течение часа внимания рабочего потребуют все четыре станка.
Решение.
1.
Событие
- внимания рабочего потребуют четыре
станка;
2.
.
3.
Ответ: 0,084.
Пример 5. В условиях примера 1 вычислить вероятность того, что в течение часа внимания рабочего потребуют хотя бы один станок.
I способ решения задачи.
1.Событие
- в течение часа внимания рабочего
потребует хотя бы один станок;
2. События: потребуют внимания рабочего
- только один станок,
,
- только два станка,
,
- только три станка,
,
- все четыре станка,
.
3.
События
- несовместные.
II способ решения задачи.
1.Событие - в течение часа внимания рабочего потребует хотя бы один станок;
2.
События:
- ни один станок не потребовал внимания
рабочего в течение одного часа;
3.
События - несовместные.
Ответ: 0,964.
Пример 6. Товаровед проверяет качество трех видов изделий. Вероятность того, что изделие 1-го вида качественное – 0,8; 2-го вида -0,7; 3-го вида – 0,6. Вычислить вероятность того, что а) только одно изделие окажется качественным; б) только два изделия окажутся качественными; в) все три изделия окажутся качественными; г) хотя бы одно изделие – качественное.
Решение.
а)
Ответ: 0,188.
б)
Ответ: 0,452.
в)
Ответ: 0,336.
г) I способ решения.
Событие - хотя бы одно изделие качественное;
События
- несовместные.
II способ решения.
События:
- все изделия бракованные;
Ответ: 0,976.
Пример 7. Монета бросается три раза. Вычислить вероятность того, что хотя бы один раз появится герб.
Решение.
Событие - хотя бы один раз появится герб;
Событие - герб не появится ни разу,
;
Ответ. 0,875.
ТЕМА. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ.
ВЕРОЯТНОСТЬ ГИПОТЕЗ. ФОРМУЛА БАЙЕСА
ПЛАН
1 Формула полной вероятности.
2 Вероятность гипотез. Формулы Байеса.
1 Формула полной вероятности
Следствием теорем сложения и умножения вероятностей является формула полной вероятности.
Постановка задачи.
Пусть имеем
попарно несовместных, образующих полную
группу событий:
,
Так как заранее неизвестно, какое из
этих событий наступит, то эти события
называют гипотезами.
Некоторое интересующее нас событие
может произойти вместе с одним из событий
.
Требуется определить вероятность
события
.
Теорема. Вероятность события , которое может наступить лишь при условии появления одного из попарно несовместных событий , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятности каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события , т.е.
Доказанная формула носит название формулы полной вероятности.
Пример 1. Имеются три одинаковые на вид урны. В первой урне 2 белых и 1 черный шар, во второй урне – 3 белых и 1 черный шар, в третьей урне 2 белых и 2 черных шара. Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар. Вычислить вероятность того, что этот шар белый.
Решение.
1. Событие - появление белого шара;
2.
Гипотезы:
-
выбор первой урны,
-
выбор второй урны,
-
выбор третьей урны,
3. Вероятности гипотез:
,
,
,
.
4. Условные вероятности события :
,
,
.
5.
.
Ответ: 23/36.
Пример 2. Штамповочный цех направил в отдел контроля своего предприятия два контейнера штампованных деталей. Первый контейнер содержит 20000 деталей, 5% которых являются браком. Второй контейнер содержит 10000 деталей с 1% брака. Детали из обоих контейнеров были перемешаны, после чего контролер наудачу берет из общей партии одну штампованную деталь. Какова вероятность того, что эта наудачу взятая деталь будет бракованной.
Решение.
1. Событие - наудачу взятая деталь окажется бракованной;
2. Гипотезы: - деталь с первого контейнера,
- деталь со второго контейнера.
3. Вероятности гипотез:
,
,
.
4.
Условные вероятности события
:
,
.
5.
.
Ответ: 0,037.
Пример 3. Рассматриваются акции некоторой компании. Исследования показали, что если экономика страны будет на подъеме, то вероятность роста стоимости акций в этой компании в следующем году будет равна 0,7; если же развитие экономики не будет успешным, то эта вероятность равна 0,2. По мнению специалистов, вероятность подъема экономики в следующем году равна 0,85. Оценить вероятность того, что в следующем году акции компании поднимутся в цене.
Решение.
1. Событие - в следующем году акции компании поднимутся в цене;
2. Гипотезы: - экономика страны будет на подъеме,
-развитие экономики не будет успешным.
3. Вероятности гипотез:
,
4. Условные вероятности события :
,
.
5.
.
Ответ: 0,625.
Пример 4. По самолету производят три одиночных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,4, при втором – 0,5, при третьем – 0,7. Для вывода самолета из строя заведомо достаточно трех попаданий; при одном попадании самолет выходит из строя с вероятностью 0,2, при двух попаданиях самолет выходит из строя с вероятностью 0,6. Вычислить вероятность того, что в результате трех выстрелов самолет будет выведен из строя.
Решение.
1. Событие - выход самолета из строя;
2. Гипотезы: - в самолет не попал ни один снаряд,
- в самолет попал только один снаряд,
- в самолет попали два снаряда,
-
в самолет попали все три снаряда.
3. Вероятности гипотез:
,
.
4. Условные вероятности события :
,
,
,
.
Ответ: 0,458.
Пример 5. В первой коробке содержится 20 радиоламп из них 18 стандартных, во второй коробке содержится 10 радиоламп из них 9 стандартных. Из второй коробки наугад взята лампа и переложена в первую. Вычислить вероятность того, что наудачу извлеченная из первой коробки лампа будет стандартной.
Решение.
1. Событие - из первой коробки извлечена стандартная лампа;
2. Гипотезы:
- из второй коробки в первую переложили стандартную лампу,
- из второй коробки в первую переложили нестандартную лампу.
3. Вероятности гипотез:
,
,
.
4. Условные вероятности события :
,
.
5.
.
Ответ: 0,9.