3. Случайные величины

1. Дискретные случайные величины

Пусть  – пространство элементарных событий некоторого эксперимента.

Случайной величиной X (сл.в. X далее) называется любая действительная функция , определённая на пространстве элементарных событий.

Законом распределения сл.в. X называется всякое соотношение, устанавливающее связь между её возможными значениями и соответствующими им вероятностями.

Функцией распределения вероятностей сл.в. называется ф-ия , выражающая для каждого действительного числа вероятность того, что сл.в. примет значение, меньшее, чем

функция распределения (3.1)

Основные свойства функции распределения:

1. 

2. функция распределения есть неубывающая функция на всей числовой оси:

если

3. функция распределения непрерывна слева, т.е. ;

4. 

5. если , то (3.2)

Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что сл.в. примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки x.

Случайная величина, принимающая конечное или счётное множество значений, называется дискретной.

Функция распределения дискретной сл.в. , где суммирование по i, для которых

Ряд (закон) распределения дискретной сл.в. X – таблица, в которой перечислены её возможные значения и соответствующие им вероятности .

X						
p

Пример 3.1. Ряд распределения случайной величины X задан таблицей:

X
p

Записать ф.р. сл.в. Х и построить её график.

Решение.

Функция распределения имеет вид:

График функции распределения Рисунок 3.1

Пример 3.2. Дискретная сл.в. X задана законом распределения:

X	1	3	6	8
p	0,2	0,1		0,3

Найти: 1) неизвестную вероятность и функцию распределения ; 2) 3)

Решение. Сумма вероятностей равна единице, поэтому неизвестная вероятность . Функция распределения

1. Числовые характеристики случайной величины

Характеристикой среднего значения случайной величины служит математическое ожидание.

Математическим ожиданием дискретной сл. в. X называют сумму произведений всех её возможных значений на их вероятности.

математическое ожидание (3.3)

Если дискретная случайная величина принимает счётное множество возможных значений, то

,

при условии, что ряд сходится абсолютно, т.е. .

Cвойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной:

5. Математическое ожидание отклонения случайной величины от её математического ожидания равно нулю:

Пример.

Упражнение. Докажите свойства 1, 2 и 5.

Другой важной характеристикой случайной величины является её дисперсия.

Дисперсией DX сл. в. X называется математическое ожидание квадрата отклонения данной сл. в. от её математического ожидания:

. (3.4)

Среднее квадратическое отклонение

Дисперсия служит мерой рассеяния значений случайной величины вокруг её математического ожидания.