Переход от одной к-матрицы злп к другой к-матрице
Пусть известна К-матрица
(3.45)
Обозначим
через
вектор номеров базисных (единичных)
столбцов матрицы
,
-вектор, компоненты которого есть
базисные компоненты опорного плана,
определяемого матрицей
,
и могут быть отличны от нуля. Остальные
(n-m)
компонент опорного плана, определяемого
матрицей
,
равны нулю. Очевидно, что векторы
и
полностью
задают опорный план, определяемый
матрицей
.
Например, пусть
=
,
тогда
=(
3,1,6);
=
=(1,2,4)
и, следовательно, опорный план, определяемый
,
имеет вид
=(2,0,1,0,0,4).
Итак, пусть К-матрица (3.45) определяет невырожденный опорный план
(3.46)
Выберем
в матрице
столбец
,
не принадлежащий единичной подматрице,
т.е.
,
и такой, что в этом столбце есть хотя бы
один элемент больше нуля.
Пусть
.
Считая
направляющим
элементом, совершим над матрицей
один шаг метода Жордана-Гаусса. В
результате получим новую матрицу
,
(3.47)
в
которой столбец
стал единичным, но которая может и не
быть К-матрицей, так как среди величин
могут
быть отрицательные. Условия выбора
направляющего элемента
,
позволяющие получить новую К-матрицу
-
,
т.е. обосновывающие способ перехода от
опорного плана
к
опорному плану
,
составляет содержание следующей теоремы,
которая была доказана выше:
Теорема
1.8 Пусть в к-м столбце К-матрицы
-
есть хотя бы один строго положительный
элемент (
,
).
Тогда с помощью одного шага метода
Жордана-Гаусса можно построить новую
К-матрицу -
,
выбрав направляющий элемент из условия:
(3.48)
Определение. Величину
,
(3.49)
где
- вектор, компонентами которого являются
коэффициенты линейной функции
при базисных (
)
переменных опорного плана, определяемого
матрицей
,
назовем j-й симплекс-разностью
матрицы
.
Если
столбец
является единичным в матрице
,
то
=0.
Пусть
и
- опорные планы, определяемые матрицами
и
соответственно. Тогда очевидно, что
(3.50)
,
(3.51)
где
К - номер столбца
,
вводимого в базис при получении матрицы
из
.
определяется
по формуле (3.48).
Теорема
1.9. Пусть в матрице
есть
и
в столбце
(
,
)
есть хотя бы один строго положительный
элемент. Тогда от матрицы
можно
перейти к матрице
,
причем
f
(
)
f(
).
(3.52)
Доказательство.
Так
как в
столбце
матрицы
есть строго положительный элемент, то
согласно теореме 1.1 от матрицы
можно перейти к новой матрице
ЗЛП, выбрав направляющий элемент из
условия (3,48).
Неравенство
(3.52) вытекает из выражения (3.51), так как
,
а
0.
Теорема доказана.
Теорема 1.10. (критерий оптимальности опорного плана) Пусть все симплекс-разности матрицы неотрицательные. Тогда опорный план , определяемый матрицей , является оптимальным.
Доказательство.
По условию теоремы
или
(3.52)
Пусть
- произвольный план задачи линейного
программирования. Умножим левую и правую
части (3.52) на
,
тогда в силу неотрицательности
получим
(3.53)
Согласно (3.53) имеем
или
,
что и доказывает теорему.
Теорема
1.11. Пусть в матрице
есть
,
и в столбце
(
,
)
нет ни одного строго положительного
элемента. Тогда ЗЛП (3.18) не имеет конечного
решения.
Доказательство.
Пусть К-я симплекс-разность матрицы
, (3.54)
и все
(3.55)
Матрица определяет опорный план
Рассмотрим вектор
,
у которого
где
-
любое положительное число.
Остальные
компонент
вектора
положим
равными нулю.
В силу условия (3.55) компонент вектора неотрицательные. Легко убедиться в том, что компоненты вектора удовлетворяют и функциональным ограничениям задачи линейного программирования, т.е. вектор - план задачи линейного программирования при любом положительном .
Имеем:
или окончательно
(3.56)
Так
как
,
то из (3.56) следует, что
для любого числа
всегда
можно найти план
ЗЛП, для которого
т.е.
линейная форма
не
ограничена сверху на множестве
планов.
Теорема доказана.