§11. Производные высших порядков.

Пусть функция y=f(x) в каждой точке интервала (a; b) имеет производную. Производную называют производной первого порядка или первой производной функции .

Рассмотрим функцию . Если g(x) имеет производную в точке , то эту производную называют производной второго порядка или второй производной функции в точке х и обозначают .

Коротко: вторая производная – это производная от первой производной, т.е.

.

Аналогично определяется производная порядка n, где .

Производной n-го порядка от функции называется производная от производной (n-1)-го порядка и обозначается символом или

Пример 1.

Если , то

;

;

;

.

Пример 2.

Найти , если .

;

.

Найти производные второго порядка следующих функций:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6)

§ 12. Экстремум функции. Возрастание и убывание функции.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , и непрерывна в точке .

Пусть называется точкой максимума (минимума) функции, если существует такая окрестность точки , в которой при выполняется неравенство .

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Необходимое условие точки экстремума:

В точках экстремума производная или не существует.

Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками.

Достаточные условия экстремума:

Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности точки .

а) Если при и при (т.е. при переходе через точку производная меняет

знак “+” на “–“), то точка является точкой максимума.

б) Если при и при (т.е. при переходе через точку производная меняет знак “–” на “+“), то точка является точкой минимума.

Пусть в критической точке функция f(x) имеет вторую производную (значит, ). Если при этом , то – точка максимума; если же то – точка минимума; если же , то вопрос о наличии экстремума в этой точке остается открытым.

Функция f(x) называется возрастающей на отрезке [a; b], если для любых и x на этом отрезке , когда x < x .

Аналогично определяется убывание функции на отрезке.

Достаточные признаки возрастания и убывания функции y=f(x):

если , то функция возрастает;

если , то функция убывает.

Чтобы найти экстремум функции нужно:

Найти и критические точки, в которых или не существует.

Определить знак слева и справа от каждой критической точки.

Далее можно найти и и построить кривую.

Пример.

Исследуйте на экстремум функцию .

Решение. Найдем экстремум функции, пользуясь первой производной. Данная функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Найдем производную, приравняем ее нулю и найдем критические точки. Имеем:

;

следовательно, - критические точки. Теперь исследуем знак производной в окрестности каждой из этих точек.

– + – + х

-2 0 2

при - функция убывает,

при - функция возрастает,

при - функция убывает,

при - функция возрастает.

Следовательно, - точка минимума, x=0- точка максимума, - точка минимума. Следовательно, имеем два минимума и максимум .

Найдите интервалы возрастания и убывания функций:

Найти экстремум функции и построить ее график