Введение.

Настоящие методические разработки предназначены для студентов факультета промышленное и гражданское строительство. Они составлены применительно к программе курса математики по разделу «Дифференциальное исчисление функций одного переменного».

Разработки представляют собой единое методическое руководство, включающее в себя: краткие теоретические сведения;«типовые» задачи и упражнения с подробными решениями и пояснениями к этим решениям;варианты контрольной работы.

В конце каждого параграфа дополнительные упражнения. Такая структура разработок делает их пригодными для самостоятельного овладения разделом при самой минимальной помощи со стороны преподавателя.

§ 1. Определение производной. Механический и геометрический смысл производной.

Понятие производной является одним из самых важных понятий математического анализа. Оно возникло еще в 17 веке. Формирование понятия производной исторически связано с двумя задачами: задачей о скорости переменного движения и задачей о касательной к кривой.

Эти задачи, несмотря на их различное содержание, приводят к одной и той же математической операции, которую нужно провести над функцией. Эта операция получила в математике специальное название. Она называется операцией дифференцирования функции. Результат операции дифференцирования называется производной.

Итак, производной функции y=f(x) в точке x0 называется предел (если он существует) отношения приращения функции к приращению аргумента при .

Производную принято обозначать так: .

Таким образом, по определению

.

Для обозначения производной употребляются также символы .

Механический смысл производной.

Если s=s(t) – закон прямолинейного движения материальной точки, то есть скорость этой точки в момент времени t.

Геометрический смысл производной.

Если функция y=f(x) имеет производную в точке , то угловой коэффициент касательной к графику функции в точке равен .

Пример.

Найдите производную функции в точке =2:

1) Дадим точке =2 приращение . Заметим, что .

2) Найдем приращение функции в точке =2:

3) Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:

.

Найдем предел отношения при :

.

Таким образом, .

§ 2.Производные от некоторых простейших функций.

Студенту необходимо научиться вычислять производные конкретных функций: y= x, y= и вообще y = .

Найдем производную функции у=х.

Имеем:

т.е. (x)′=1.

Найдем производную функции

Производная

Пусть тогда

Легко заметить закономерность в выражениях производных от степенной функции при n=1,2,3.

Следовательно,

. (1)

Эта формула справедлива для любых действительных n.

В частности, используя формулу (1), имеем:

;

.

Пример .

Найдите производную функции

.

Решение:

.

Данная функция является частным случаем функции вида

при .

Используя формулу (1), имеем

.

Производные функций y=sin x и y=cos x.

Пусть y=sinx.

Разделим на ∆x, получим

Переходя к пределу при ∆x→0, имеем

Пусть y=cosx .

Тогда

Отсюда

Переходя к пределу при ∆x→0,получим

; . (2)

§3.Основные правила дифференцирования.

Рассмотрим правила дифференцирования.

Теорема1. Если функции u =u(x) и v=v(x) дифференцируемы в данной точке x ,то в этой точке дифференцируема и их сумма, причем производная суммы равна сумме производных слагаемых: (u+v)'=u'+v'. (3)

Доказательство: рассмотрим функцию y=f(x)=u(x)+v(x).

Приращению ∆x аргумента x соответствуют приращения ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) функций u и v. Тогда функция y получит приращение

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=[u(x+∆x)+v(x+∆x)]--[u(x)+v(x)]=∆u+∆v.

Следовательно,

Итак,(u+v)'=u'+v'.

Теорема2. Если функции u=u(x) и v=v(x) дифференцируемы в данной точке x, то в той же точке дифференцируемо и их произведение. При этом производная произведения находится по следующей формуле: (uv)'=u'v+uv'. (4)

Доказательство: Пусть y=uv, где u и v – некоторые дифференцируемые функции от x. Дадим x приращение ∆x;тогда u получит приращение ∆u, v получит приращение ∆v и y получит приращение ∆y.

Имеем y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), или

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Следовательно, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Отсюда

Переходя к пределу при ∆x→0 и учитывая, что u и v не зависят от ∆x,будем иметь

Теорема 3. Производная частного двух функций равна дроби, знаменатель которой равен квадрату делителя, а числитель- разности между произведением производной делимого на делитель и произведением делимого на производную делителя, т.е.

Если то (5)

Теорема 4. Производная постоянной равна нулю, т.е. если y=C, где С=const, то y'=0.

Теорема 5. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е. если y=Cu(x), где С=const, то y'=Cu'(x).

Пример 1.

Найдите производную функции

.

Решение.

Данная функция имеет вид , где u=x, v=cos x. Применяя правило дифференцирования (4), находим

.

Пример 2.

Найдите производную функции

.

Решение.

Применим формулу (5).

Здесь ; .

.

Найдите производные следующих функций:

;

11)

2) ; 12) ;

3) 13)

4) 14)

5) 15)

6) 16)

7) 17)

8) 18)

9) 19)

10) 20)