2.6. Атом водорода в квантовой механике. Квантовые числа

Атом – наименьшая частица вещества, обладающая всеми химическими свойствами элемента. Простейшим атомом является атом водорода, состоящий из одного протона и одного электрона.

Рассмотрим движение электрона в кулоновском поле ядра с зарядом . При Z=1 такая система соответствует атому водорода, при иных Z – водородоподобному иону. Водородоподобными ионами принято называть ионы , имеющие ядро с зарядом и один электрон.

Потенциальная энергия электрона зависит от его расстояния от ядра и определится формулой:

. (2.69)

Эта зависимость представлена графически на рис.2.13. Поэтому принято говорить, что электрон в водородоподобном атоме находится внутри гиперболической центрально-симметричной потенциальной ямы.

Запишем уравнение Шредингера для этого случая:

. (2.70)

Здесь - оператор Лапласа. Так как потенциальная яма имеет центрально- симметричную форму, то оператор Лапласа необходимо взять в сферической системе координат: , и волновые функции в общем случае будут зависеть от координат . Данная задача успешно решена в квантовой механике, но решение ее достаточно громоздкое, и мы его здесь не приводим. Рассмотрим лишь основные результаты, которые следуют из решения уравнения (2.70).

Уравнение (2.70) имеет решение в следующих случаях:

• при любых положительных значениях энергии электрона E>0. Этот случай соответствует свободному электрону, не связанному с атомом;

• при дискретных отрицательных значениях энергии:

, (n = 1, 2, 3….). (2.71)

Значения называют собственными значениями.

Собственные функции уравнения содержат 3 целочисленных параметра. Их называют квантовыми числами и обозначают n, l, m.

. (2.72)

Параметр n называется главным квантовым числом. Оно определяет энергию электрона в атоме и может принимать любые целочисленные значения. Энергия электрона в атоме квантуется.

Число l называется орбитальным квантовым числом. При данном n оно может принимать значения: l =0, 1, 2…. , n -1 (всего n значений).

Орбитальное квантовое число l определяет возможные значения момента импульса электрона L:

. (2.73)

Момент импульса электрона квантуется.

Различные значения орбитального квантового числа электрона служат для систематики электронных состояний в атомах и молекулах. Приняты следующие обозначения:

l=0 – s –состояние;

l =1 – p –состояние;

l =2 – d –состояние;

l =3 – f –состояние.

Значение главного квантового числа указывается перед условным обозначением квантового числа l. Возможны следующие состояния электрона:

1s,

2s, 2p,

3s, 3p, 3d,

4s, 4p, 4d, 4f и т.д.

Число m называется магнитным квантовым числом. При заданном l магнитное квантовое число может принимать значения:

m_l=0, 1, 2, ….,l, (всего 2l +1 значение).

Магнитное квантовое число определяет возможные значения проекции орбитального момента импульса на направление внешнего магнитного поля. Это означает, что существует пространственное квантование: вектор момента импульса может иметь только вполне определенные дискретные ориентации в пространстве. Проекция момента импульса на направление Z может принимать значения

(1.8.6)

На рис.2.14 показано пространственное квантование вектора для электронов в p– и d– состояниях.

Различные состояния атома с одинаковой энергией называются вырожденными, а число состояний с одинаковой энергией называется кратностью вырождения.

Число различных состояний соответствующих данному n и различным l и m можно рассчитать по формуле

. (2.74)

Таким образом, каждый уровень энергии атома водорода имеет вырождение кратности n². В таблице 2.2 приведены состояния, соответствующие первым трем энергетическим уровням.

Таблица 2.2. Состояния электрона в атоме водорода

Уровень энергии	Волновая функция	Значение			Число состояний
		n	l	m
		1	0	0	1
		2	0	0	4
		2	1	0
		2	1	+1
		2	1	-1
		3	0	0	Всего 9
		3	1	0
		3	1	+1
		3	1	-1
	--------	------	------	------

2.9. 1s– состояние электрона в атоме водорода

Волновая функция электрона для 1s – состояния зависит только от расстояния r электрона от ядра, т.е. является сферически симметричной. Ее выражение имеет вид

. (2.75)

Здесь и совпадает с формулой радиуса первой боровской орбиты; численное значение этого параметра равно ; A – множитель, который можно определить из условия нормировки волновой функции:

. (2.76)

Исходя из сферической симметрии задачи, выберем элемент объема в виде тонкого сферического слоя радиуса r толщиной dr (рис.2.15)

. (2.77)

Подставим выражения (2.75) и (2.77) в условие нормировки (2.76), получим

или . (2.78)

Интеграл в выражении (2.78) можно взять по частям. Он будет равен:

. (2.79)

Для нормировочного множителя получим выражение:

. (2.80)

Окончательно, нормированная волновая функция электрона в 1s – состоянии имеет вид:

. (2.81)

Вероятность обнаружить электрон в элементе объема равна:

. (2.82)

Найдем наиболее вероятное расстояние электрона от ядра. Для этого введем функцию

. (2.83)

Функция определяет плотность вероятности обнаружения электрона на расстоянии r от ядра, она определится выражением:

. (2.81)

График этой функции представлен на рис.2.16.

Наиболее вероятное расстояние электрона от ядра соответствует максимуму функции . Для нахождения положения максимума необходимо приравнять нулю производную , или

. (2.82)

Расчет приводит к результату:

r_m=a . (2.83)

Таким образом, наиболее вероятное расстояние электрона от ядра равно радиусу первой боровской орбиты.