Тақырып: Дәрежелік қатарлар

Анықтама.

(15)

түріндегі функционалды қатарды дәрежелік қатар деп, ал сандары оның коэффициенттері деп аталады.

Дәрежелік қатар болғанда үнемі жинақты болады. Келесі Абель теоремасы дәрежелік қатардың жинақтылық облысын сипаттайды:

Теорема 1. (Абель теоремасы)

а) Егер (15) қатар , ( ) нүктесінде жинақты болса, онда бұл қатар теңсіздігін қанағаттандыратын кез келген үшін жинақты болады.

б) Егер (15) қатар нүктесінде жинақсыз болса, онда бұл қатар теңсіздігін қанағаттандыратын кез келген үшін жинақсыз болады.

Анықтама. (15) қатар интервалында жинақты болатындай –дің ең үлкен мәнін осы қатардың жинақтылық радиусы ( ) деп атайды, ал интервалын жинақтылық интервалы деп атайды.

Егер қатар тек 0 нүктесінде ғана жинақты болса, онда =0 деп, ал қатар кез келген үшін жинақты болса, онда = деп санаймыз.

жинақтылық радиусын анықтау үшін қатар жинақтылығының Даламбера және Коши белгілерінен туындайтын келесі екі формуланы қолданады:



Мысал-16. –қатарының жинақтылық облысын табу керек:

Шешуі: , болғандықтан

Олай болса жинақтылық радиусы және жинақтылық интервалы болады. Енді жинақтылық облысын табу үшін және нүктелеріде берілген қатарды жинақтылыққа зерттеу қажет:

Егер болса, онда , яғни қатар жинақты.

Егер болса, онда , қатар жинақсыз. Сондықтан, қатардың жинақтылық облысы .

Анықтама.

(16)

центірі нүктесіне ығысқан дәрежелік қатар деп аталады.

Егер айырмасын арқылы белгілесек, онда жинақтылық радиусын аламыз. Сондықтан, (16) қатардың жинақтылық интервалы түрінде жазылады.

Негізгі әдебиет:

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т.2 М.:Наука,1985г. (стр. 245-250)

2. Гусак А.А. Высшая математика Т.2. Мн.: Тетро Системс, 2001г. (стр. 114-119)

Бақылау сұрақтары:

1. Функционалды қатарды анықтау.

2. Жинақтылық облысы.

3. Функционалды қатардың бірқалыпты жинақтылығы.

4. Дәрежелік қатарлардың анықтамасы.

5. Дәрежелік қатарлардың жинақтылық радиусы.

6. Дәрежелік қатарлардың жинақтылық облысы.

Тақырып: Тейлор және Маклорен қатарлары

Айталық функциясының нүктесі маңында ші ретті туындысы бар болсын.

Анықтама. Многочленом Тейлора го порядка функции в точке называется многочлен

(17)

өрнегін функциясының нүктесі маңында жазылған Тейлор көпмүшелігі деп атайды. Мұнда = және 0!=1 болатыны ескерілген.

Анықтама. және өрнектері айырмасын Тейлордың центірі нүктесінде болатын қалдық мүшесі деп атайды: Оны арқылы белгілейді.

(17) формуладан мына теңдіктер тізбесін аламыз:

(18)

Жалпы қалдық мүшенің бірнеше түрлері бар. Солардың Лгранж түріндегі қалдық мүшесі: , мұнда немесе аралықтарында жатады.

Сонымен функциясы үшін мынадай теңдік орындалады:

(19)

бұл өрнекті Лгранж түріндегі қалдық мүшесі бар Тейлор формуласы деп атайды.

Анықтама. Егер функциясы нүктесі маңында шексіз рет дифференциалданатын болса, онда

(20)

өрнегін функциясын нүктесінде жазылған Тейлор қатары деп атайды.

Анықтама. Егер Тейлор қатарында деп алсақ, онда алынатын қатарды Маклорен қатары деп атайды. Маклорен қатары былай жазылады:

(21)