Тқырып: Функционалды қатарлар

Енді мүшелері сан емес функция болатын қатарларды қарастырамыз.

Анықтама. Функционалды қатар деп келесі қатарды айтады:

, (12)

мұнда - анықталу облыстары ортақ нақты айнымалы функциялар.

Егер х айнымалысының орнына нақты сан мәнін қойсақ, онда (12) қатар сан қатарына айналады.

Анықтама. (12) қатары жинақты болатындай х-тың барлық мәндері жиынын (12) қатарының жинақтылық облысы деп атайды. Оны ақылы белгілейді.

Эту область будем обозначать через .

Мысал-11. х айнымалысының әрбір мәнінде -Дирихле қатары болады. Сондықтан, бұл қатардың жинақтылық облысы х1 теңсіздігімен анықталады, яғни .

Мысал-12. –қатары еселігі болатын геометриялық прогрессия болады. Сондықтан, бұл қатардың жинақтылық облысы болады.

(12) функционалды қатардың дербес қосындысы  қосындысы және қалдығы жинақтылық облысында анықталатын функциялар.

Алдыңғы мысалда қарастырылған функциялар (11) аралығында анықталған функциялар: ; ; .

Айталық, облысына тиісті ішкі аралық болсын.

Анықтама. Егер болса, яғни болғанда қалдық модулінің аралығындағы ең үлкен мәні нөлге ұмтылса, онда (12) функционалды қатарды аралығында бірқалыпты жинақты деп атайды. аралығында қалдығы үнемі нөлге ұмтылады, бірақ бірқалыпты нөлге ұмтылмауы да мүмкін екенін ескетреміз.

Мысал-13. Егер қатарын аралығында қарастырсақ, онда

мәні анықталмайды, себебі . Олай болса қатар аралығында бірқалыпты жинақты болмайды.

Ал аралығында  себебі болғанда бөлшектің бөлімі ең кіші мәнін, ал алымы ең нлкен мәніне ие болады. Сондықтан, және қатар аралығында бірқалыпты жинақты болады.

Функционалды қатарлардың бірқалыпты жинақтылығын анықтайтын белгі бар.

Анықтама. Егер кез келген пен кез келген үшін теңсіздігі орындалса, онда

(13)

сан қатарын аралығында

(14)

функционалды қатарының мажоранттық қатары деп аталады.

Егер аралығы арнайы көрсетілмесе, онда анықтамадағы теңсіздік кез келген х үшін орындалады деп саналады.

Теорема 1. ( Бірқалыпты жинақтылықтың Вейерштрасс белгісі).

Айталық аралығында (14) функционалды қатарының жинақты (13) мажоранттық қатары бар болсын. Онда (14) қатар аралығында бірқалыпты жинақты болады.

Мысал-14. қатарын бірқалыпты жинақтылыққа зерттелік.

Шешуі: болғандықтан теңсіздігі орындалады. Сондықтан кез келген үшін берілген қатардың мажоранттық қатары болады және жинақты (Дирихле қатары, =2). Олай болса берілген функционалды қатар аралығында бірқалыпты жинақты.

Бірқалыпты жинақты қатарлар қасиеттері.

1. Айталық, қатары аралығында бірқалыпты жинақты және оның барлық мүшелері аралығында үздіксіз болса, онда қатар қосындысы - функциясы да аралығында үздіксіз болады.

2. Айталық, қатары аралығында бірқалыпты жинақты және оның барлық мүшелері аралығында үздіксіз болса, онда қатарды аралығында мүшелеп интегралдауға болады және қосынды интегралы қатарды мүшелеп интегралдағанға тең:

3. Айталық, қатары аралығында бірқалыпты жинақты және оның барлық мүшелері аралығында үздіксіз дифференциалданатын болса, онда қатарды аралығында мүшелеп дифференциалдауға болады және қосынды туындысы қатарды мүшелеп туынды алып қосқанға теңң: .

Мысал-15. –қосындысын табу керек.

Шешуі: Берілген қатар (-1;+1) аралығының кез келген ішкі жиынында бірқалыпты жинақты, сондықтан берілген қатарды мүшелеп дифференциалдауға болады:

Онда осы алынған нәтижені интегралдау арқылы берілген қатар қосындысын табамыз: