1.2 Условия задачи оптимизации структуры сельскохозяйственных угодий

За сельскохозяйственным предприятием закреплено 6785 га сельскохозяйственных угодий, в том числе пашни, сенокосов естественных, пастбищ улучшенных и естественных. Экспликация земель с учетом их качественной характеристики приведена в таблице 1. При этом:

• к I категории относятся земельные участки пригодные для использования под пашню;

• ко II категории относятся земельные участки для использования под сенокосы коренного улучшения;

• к III категории относятся земельные участки преимущественно пригодные под сенокосов и пастбищ, но требующих некоторых мероприятий по улучшению;

• к IV категории относятся земельные участки пригодные под кормовые угодья, в основном под пастбища, и требующие большие капиталовложения;

• к V категории относятся пастбища естественные.

Таблица 1 – Экспликация сельскохозяйственных угодий по категориям пригодности клх. «Россия»

№ п/п	Виды сельскохозяйственных угодий	Категории пригодности					Площади с/х угодий, га
		I	II	III	IV	V
	Балл бонитета	37	24	17	8	5
1	Пашня	5415	29	56	27	5	5532
2	Сенокосы естественные	27	362	10	12	4	415
3	Пастбища улучшенные	11	19	124	-	-	154
4	Пастбища естественные	39	28	117	523	3	710
	Площадь по категориям	5492	438	307	562	12

Для этих мероприятий у сельскохозяйственного предприятия имеются некоторые ресурсы:удобрения (1350 ц.), капитальные вложения (60200 у.д.е.), трудовые ресурсы (32600 чел./час.), которые могут быть использованы для улучшения сельскохозяйственных угодий.

Для нормального развития животноводства площадь сельскохозяйственных кормовых угодий не должна уменьшаться. Площадь сельскохозяйственных кормовых угодий должна составлять не менее 20 % от фактических.

Объем производства товарной продукции по зерну должен быть сохранен на достигнутом уровне, т.е. 16670 ц.

1.3 Состав переменных и ограничений

Составление задачи начинается с определения состава переменных и ограничений, выбора целевой функции.

В качестве переменных в задаче выступают площади сельскохозяйственных угодий в связи с классами пригодности. Необходимо наметить варианты трансформации земель различного качества. Поэтому составлению системы предшествует анализ использования сельскохозяйственных угодий. Он проводится с целью определения пригодности (непригодности) земель данного класса к использованию в том или ином виде угодий; выявления земель, пригодных для более интенсивного использования; установления непригодности изменения вида угодий данного качества.

Состав переменных модели определяется в соответствии с постановкой задачи и включает следующие группы:

• переменные, которые не имеют альтернативы использования (т.е. использование данной площади в данном угодье соответствует его качеству);

• переменные с возможностью многовариантного использования в различных видах угодий.

В рассматриваемой экономико-математической модели оптимизации структуры сельскохозяйственных угодий в качестве неизвестных Х выступают площади i-го угодья j-го качества. Трансформация сельскохозяйственных угодий проводится с учетом качественной характеристики почв сельскохозяйственного угодья. Угодья, площади которых соответствуют их качественной характеристике, остаются без изменений. Естественные угодья, имеющие высокий балл бонитета, трансформируются в пашни.

В экономико-математическую модель вводятся переменные, которые соответствуют фактическому составу сельскохозяйственных угодий и возможным вариантам трансформации. В модели 42 переменные, соответствующие вариантам трансформации.

Перечень переменных, включаемых в задачу следующий:

Система переменных:

Х₁ – пашня I категории;

Х₂ – пашня II категории;

Х₃ – пашня II категории, трансформируемая в сенокосы улучшенные;

Х₄ – пашня III категории;

Х₅ – пашня III категории, трансформируемая в сенокосы улучшенные;

Х₆ – пашня III категории, трансформируемая в пастбища улучшенные;

Х₇ – пашня IV категории;

Х₈ – пашня IV категории, трансформируемая в пастбища улучшенные;

Х₉ – пашня V категории;

Х₁₀ – пашня V категории, трансформируемая в пастбища естественные;

Х₁₁ – сенокосы естественные I категории;

Х₁₂ – сенокосы естественные I категории, трансформируемые в пашню;

Х₁₃ – сенокосы естественные II категории;

Х₁₄ – сенокосы естественные II категории, трансформируемые в сенокосы улучшенные;

Х₁₅ – сенокосы естественные III категории;

Х₁₆ – сенокосы естественные III категории, трансформируемые в сенокосы улучшенные;

Х₁₇ – сенокосы естественные III категории, трансформируемые в пастбища улучшенные;

Х₁₈ – сенокосы естественные IV категории;

Х₁₉ – сенокосы естественные IV категории, трансформируемые в пастбища улучшенные;

Х₂₀ – сенокосы естественные V категории;

Х₂₁ – сенокосы естественные V категории, трансформируемые в пастбища естественные;

Х₂₂ – пастбища улучшенные I категории;

Х₂₃ – пастбища улучшенные I категории, трансформируемые в пашню;

Х₂₄ – пастбища улучшенные II категории;

Х₂₅ – пастбища улучшенные II категории, трансформируемые в сенокосы улучшенные;

Х₂₆ – пастбища улучшенные III категории;

Х₂₇ – пастбища улучшенные III категории, трансформируемые в сенокосы улучшенные;

Х₂₈ – пастбища естественные I категории;

Х₂₉ – пастбища естественные I категории, трансформируемые в пашню;

Х₃₀ – пастбища естественные II категории;

Х₃₁ – пастбища естественные II категории, трансформируемые в сенокосы улучшенные;

Х₃₂ – пастбища естественные III категории;

Х₃₃ – пастбища естественные III категории, трансформируемые в сенокосы улучшенные;

Х₃₄ – пастбища естественные III категории, трансформируемые в пастбища улучшенные;

Х₃₅ – пастбища естественные IV категории;

Х₃₆ – пастбища естественные IV категории, трансформируемые в пастбища улучшенные;

Х₃₇ – пастбища естественные V категории.

Система ограничений

I Ограничения по использованию сельскохозяйственных угодий с учетом трансформации:

Составляются ограничения по каждому виду сельскохозяйственных угодий. Левая часть ограничений состоит из суммы переменных – площадей различного качества, из которых складывается i-й вид угодий. Правая часть – сумма существующей площади i-го вида угодий и переменных, характеризующих увеличение площади за счет трансформации других угодий в i-й вид.

Ограничение по сельскохозяйственным угодьям с учетом трансформации в общем виде записывается следующим образом:

, (1)

где X_ij – площадь i-х сельскохозяйственных угодий j-м категории пригодности, га;

t – переменная, которая отображает варианты трансформации;

S_i – фактическая площадь i-го вида угодий, га;

1Ограничение по площади пашни по плану трансформации:

X₁+X₂+X₄+X₇ 5532–X₃ – X₅ – X₆ – X₈ – X₁₀+X₁₂+X₂₃+X₂₉

X₁+X₂+X₃+X₄+X₅+X₆+X₇+X₈ +X₁₀ – X₁₂ – X₂₃ – X₂₉ 4191

2 Ограничение по площади сенокосов естественных с учетом трансформации:

X₁₁+Х₁₃+Х₁₅+Х₁₈+Х₂₀ ≤ 415 – X₁₂ – X₁₄ – X₁₆ – X₁₇ – X₁₉ –X₂₁

X₁₁+Х₁₃+Х₁₅+Х₁₈+Х₂₀ + X₁₂ + X₁₄ + X₁₆ + X₁₇ + X₁₉ +X₂₁≤ 415

3 Ограничение по площади пастбищ улучшенных с учетом трансформации:

X₂₂+X₂₄+X₂₆ 128 – X₂₃ – X₂₅ –X₂₇ + X₆ + X₈ + X₁₇ +Х₁₉+ Х₃₄ + Х₃₆

X₂₂+X₂₄+X₂₆ + X₂₃ + X₂₅ +X₂₇ - X₆ - X₈ - X₁₇ -Х₁₉- Х₃₄ - Х₃₆ 128

4 Ограничение по площади пастбищ естественных с учетом трансформации:

X₂₈+X₃₀+X₃₂+X₃₅+X₃₇ 710 – X₂₉ – X₃₁ – X₃₃ – X₃₄– X₃₆ + X₁₀ + X₂₁

X₂₈+X₃₀+X₃₂+X₃₅+X₃₇ + X₂₉ + X₃₁ + X₃₃ + X₃₄+ X₃₆ - X₁₀ - X₂₁ 710

II Ограничения по категориям пригодности и видам сельскохозяйственных угодий:

В задаче предусматривается несколько вариантов использования земель j-ой категории в i-ых видах угодий. Учитывая то, что каждая из групп земель может быть использована в различных видах угодий, следует составить ограничения, по площадям каждой качественной группы. Ограничения представляют собой строгие равенства.

Ограничение в общем виде записывается следующим образом:

, (2)

где X_ij – площади i-го вида угодий j-го качества, га;

A_i – площадь каждого вида угодий с учетом категории пригодности, га;

Необходимость составления данных равенств заключается в том, что суммарная площадь, подлежащая трансформации, и остающаяся в i-ом виде угодий – одна и та же. В случае, не предусматривающем многовариантного использования, так же составляются ограничения.

Данная задача имеет следующие ограничения по категориям пригодности видам сельхозугодий:

5 Пашня I категории: X₁ = 5415

6 Пашня II категории: Х₂+Х₃ 29

7 Пашня III категории: X₄+X₅ +X₆ = 56

8 Пашня IV категории: X₇+X₈ = 27

9 Пашня V категории: X₉+X₁₀ =5

10 Сенокосы естественные I категории: Х₁₁+Х₁₂ 27

11 Сенокосы естественные II категории: Х₁₃ + Х₁₄=362

12 Сенокосы естественные III категории: Х₁₅+Х₁₆ +Х₁₇ 10

13 Сенокосы естественные IV категории: Х₁₈+ X₁₉ 12

14 Сенокосы естественные V категории: X₂₀+X₂₁ 4

15 Пастбища улучшенные I категории: Х₂₂+Х₂₃ 11

16. Пастбища улучшенные II категории: Х₂₄+Х₂₅ 19

17 Пастбища улучшенные III категории: Х₂₆+Х₂₇ 124

18 Пастбища естественные I категории: Х₂₈+Х₂₉ 39

19 Пастбища естественные II категории Х₃₀+Х₂₈ 28

20 Пастбища естественные III категории: X₃₂+X₃₃+X₃₄ = 117

21 Пастбища естественные IV категории: X₃₅+X₃₆ =523

22 Пастбища естественные IV категории: Х₃₇ =3

III Ограничение по использованию ресурса:

Задачи оптимизации ставят целью получение экстремума функции при некоторых ограничениях, прежде всего при ограниченном объеме ресурсов. Размер трансформации всегда определяется наличием ресурсов. От их размеров и соотношения зависит оптимальный состав и соотношение сельскохозяйственных угодий. При составлении ограничений следует помнить о том, что все ресурсы (если их объем не является искомым) лимитированы. Следовательно, тип ограничений всегда будет « ».

В задачах по оптимизации структуры сельскохозяйственных угодий выделяются следующие группы ресурсов:

• по производственным фондам и капитальным вложениям;

• по минеральным и органическим удобрениям;

• по трудовым ресурсам.

Ограничение в общем виде записывается следующим образом:

, (3)

где d_ij – нормы расхода i-го вида ресурса на трансформацию j-го вида сельскохозяйственного угодья;

X_ij – площади i-го вида угодий j-го качества, га;

A_i – объем ресурса i-го вида, выделяемого на трансформацию;

23 Ограничение по капитальным вложениям:

50X₃+55X₅+220X₆+250X₈+40X₁₀+100X₁₂+50X₁₄+55X₁₆+220X₁₇+250X₁₉+

40X₂₁+100X₂₃+50X₂₅+55X₂₇+100X₂₉+50X₃₁+55X₃₃+220X₃₄+250X₃₆ 60200

IV Ограничения пропорциональных связей:

Данный тип ограничений включается в систему неравенств в тех случаях, когда необходимо выдержать определенные условия по соотношению или структуре угодий. В данной задаче составление ограничений пропорциональных связей вызвано необходимостью сохранения пастбищ естественных на уровне не менее 20% (условно) от существующей площади.

Ограничение в общем виде записывается следующим образом:

, (4)

где – пропорция, означающая технологическую связь, удельный вес угодья, который необходимо выдержать;

X_j – площади i-го вида угодий j-го качества земли, на которую наложено ограничение, га;

X_jt – площади i-го вида сельскохозяйственного угодья j-го качества с учетом трансформируемых площадей.

24 Площадь кормовых угодий не менее 20 %:

X₂₈+X₃₀+X₃₂+X₃₅+X₃₇+X₁₀+X₂₁ 0,2 (X₂₈ +X₂₉ +X₃₀ +X₃₁ +X₃₂+X₃₃+X₃₄+ X₃₅+X₃₆+X₃₇)

0,8X₂₈ – X₂₉ +0,8X₃₀ – X₃₁+0,8X₃₂ –X₃₃ –X₃₄ +0,8X₃₅ –X₃₆ +0,8X₃₀+X₁₀+X₂₁ 0

V Ограничения по выполнению заказа по производству зерна:

При определении оптимального состава и соотношения сельскохозяйственных угодий следует учитывать, что полученный состав угодий, прежде всего, должен отвечать экономическим требованиям производства. Одним из таких требований является производство тех или иных видов продукции в объемах не меньше ранее достигнутых. В нашем случае на задачу налагается условие по выполнению заказа на производство товарного зерна в объемах не менее, чем до трансформации.

В ограничение включаются те переменные, которые планом трансформации намечены на использование в пашне.

Ограничение в общем виде записывается следующим образом:

, (5)

где Y_ji – урожайность зерновых культур с площади, включая и трансформируемые в пашню площади, ц/га;

Q_i – объем гарантируемого производства зерна, ц.

25 Выполнение заказа по производству зерну, ц:

18,5X₁ + 12X₂ + 8,5 X₄ + 4 X₇ + 2,5X₉ + 18,5X₁₂+ 18,5 X₂₃ + 18,5 X₂₉ 16670

VI Ограничение по эффективности использования капитальных вложений:

На трансформацию расходуются значительные денежные средства. Материальные ресурсы, в т.ч. объем капитальных вложений, – лимитированные ресурсы. Следовательно, мероприятия, связанные с улучшением состава угодий, должны быть связаны не только с объемом ресурсов, но и обеспечивать максимальную эффективность их использования. В сельском хозяйстве использование капитальных вложений считается эффективным, если вложения окупаются в течение 10-12 лет. Показатель, характеризующий эффективность намечаемых мероприятий, (Е), называется коэффициентом эффективности. Чем больше коэффициентом эффективности, тем меньше срок окупаемости затрат.

Ограничение в общем виде записывается следующим образом:

, (6)

где – дополнительный чистый доход, получаемый при переводе i-го вида угодья в j-ое, у.д.е.;

– затраты денежных средств на перевод угодья из одного вида в другой, у.д.е.

32 Эффективность использования капитальных вложений:

10X₃ + 11X₅ + 34X₆+ 54X₈ + 4X₁₀ +85X₁₂ +40X₁₄ + 16X₁₆ +39X₁₇+ 59X₁₉ + 8X₂₁ + 90X₂₃+ 35X₂₅ + 21X₂₇ +110X₂₉ + 52X₃₁ + 37X₃₃+60X₃₄+ 62X₃₆ 0

Функция цели:

Завершается модель описанием целевой функции, которая отражает чистый доход на участках, участвующих и не участвующих в трансформации, и ее величина стремится к максимуму.

Запись в общем виде:

, (7)

где Cj – чистый доход, у.д.е в расчете на 1 га i-х сельскохозяйственных угодий j-го качества;

X_ij – площади сельскохозяйственных угодий i-го вида j-го качества, га;

F = 100X₁ + 50X₂ + 50X₃ + 30X₄ + 30X₅ + 20X₆ + 10X₇ + 14X₈ + 5X₉ +1X₁₀+35X₁₁+100X₁₂ + 20X₁₃ + 50X₁₄ + 25X₁₅ + 30X₁₆ + 20X₁₇ + 5X₁₈ + 14X₁₉ + 1X₂₀ +1X₂₁+30X₂₂+100X₂₃ + 25X₂₄+ 50X₂₅+ 20X₂₆ + 30X₂₇ + 10X₂₈ + 100X₂₉ + 8X₃₀ + 50X₃₁ + 4X₃₂ +30X₃₃+20X₃₄+2X₃₅ + 14X₃₆ + 1X₃₇