Оценка производственной функции
Вычислим коэффициент
корреляции,
показывающий, насколько зависимость
уj=
j,
выраженная выборкой близка
к линейной.
.
Для вычисления коэффициента корреляции воспользуемся расчётами, проведёнными в табл.2.
,
.
Значение коэффициента корреляции говорит о высокой степени линейной корреляции величин у и х.
Тесноту нелинейных связей характеризуют выборочным корреляционным отношениям. Корреляционное отношение показывает, насколько принятое уравнение регрессии соответствует реальной статистической картине.
Для линейной регрессии
.
Корреляционное отношение определяется по формуле:
.
Используя данные таблицы 3, рассчитаем корреляционное отношение:
.
Оценка погрешностей определения коэффициентов корреляции
При малых выборках,
когда
стандартная ошибка определения
коэффициента парной корреляции
вычисляется по формуле:
.
Стандартная ошибка определения корреляционного отношения R, вычисляется при по формуле:
,
где N
– число
выборки, K
– число
факторов.
Tаблица 3
Таблица для расчёта корреляционного отношения (R) и дисперсии
|
|
|
|
1 |
0,18 |
8,70 |
6,40 |
2 |
0,46 |
7,56 |
4,28 |
3 |
0,07 |
1,82 |
2,59 |
4 |
0,81 |
0,06 |
1,32 |
5 |
0,004 |
0,56 |
0,48 |
6 |
0,08 |
0,003 |
0,05 |
7 |
0,0004 |
0,06 |
0,05 |
8 |
0,0036 |
0,56 |
0,48 |
9 |
0,01 |
1,56 |
1,32 |
10 |
0,004 |
2,40 |
2,59 |
11 |
0,10 |
3,6 |
4,28 |
12 |
0,006 |
6,003 |
6,40 |
∑ |
1,74 |
32,34 |
30,25 |
|
Дост |
Добщ |
Дрег |
.
Достоверность расчёта коэффициента корреляции высока.
.
Если
,
то выборочная оценка коэффициента
корреляции приемлема:
0,96 > 0,27 .
В силу линейности регрессии корреляционное отношение не даёт дополнительной информации.
Коэффициент корреляции позволяет сделать вывод о целесообразности использования уравнения регрессии.
Если 
и
,
то производственную функцию можно
представить в форме линейной регрессии.
Для более полной оценки погрешности необходима оценка закона распределения коэффициентов корреляции.
При малом объёме
выборки
и сильной корреляции
закон распределения коэффициента
корреляции отличается от нормального,
в этом случае используется статистика
Фишера.
Стр 176 Доверительный интервал для коэффициента r0 в генеральной совокупности определится соотношением (случай , ):
,
где
;
,
tp – находится с помощью таблиц значений функции Лапласа по уровню доверительной вероятности;
р – уровень доверительной вероятности.
Для ориентировочной
оценки доверительных интервалов для
r0
в случае
,
для грубых оценок доверительных
интервалов можно использовать,
соотношение:
.
Если возьмём
уровень доверительной вероятности 80%
(
),
тогда значение
из таблицы функции Лапласа будет равно
.
Доверительный
интервал для коэффициента корреляции
определится соотношением
Приложение 1
P-процентное значение tp нормально распределенной величины t (P=100p, где p - доверительная вероятность)
Для нормально распределенной со стандартным отклонением 1 случайной величины t значение tp удовлетворяет условию "|t| не превосходит tp с вероятностью p“ и является решением уравнения Ф(t) = p, где Ф(t) интеграл вероятности.
-
p
tp
p
tp
0,80
1,28
0,98
2,33
0,85
1,44
0,99
2,58
0,90
1,65
0,999
3,29
0,95
1,96
0,9999
3,89
Приложение 2
P-процентное значение tp,v величины t, распределенной по закону Стъюдента с v степенями свободы.
Для
случайной величины t, распределенной
по закону Стъюдента с v степенями
свободы, значение tp,v
удовлетворяет условию "|t| не
превосходит tp,v
с вероятностью p" и является
решением уравнения
,
где
плотность вероятности
для распределения Стъюдента.
-
tp при различных значениях p
p=0,80
0,90
0,95
0,98
0,99
0,999
4
1,53
2,13
2,78
3,75
4,60
8,61
5
1,48
2,01
2,57
3,37
4,03
6,86
6
1,44
1,94
2,45
3,14
3,71
5,96
7
1,42
1,90
2,37
3,00
3,50
5,41
8
1,40
1,86
2,31
2,90
3,36
5,04
9
1,38
1,83
2,26
2,82
3,25
4,78
10
1,37
1,81
2,23
2,76
3,17
4,59
12
1,37
1,78
2,18
2,68
3,06
4,32
14
1,35
1,76
2,15
2,62
2,98
4,14
16
1,34
1,75
2,12
2,58
2,92
4,02
18
1,33
1,73
2,10
2,55
2,88
3,92
20
1,33
1,73
2,09
2,53
2,85
3,85
25
1,32
1,71
2,06
2,49
2,79
3,72
30
1,31
1,70
2,04
2,46
2,75
3,65
40
1,30
1,68
2,02
2,42
2,70
3,55
60
1,30
1,67
2,00
2,39
2,66
3,46
120
1,29
1,66
1,98
2,36
2,62
3,37
1,28
1,65
1,96
2,33
2,58
3,29
Оценка значимости
представления производственной функции
или оценка
адекватности выбранной сглаженной
зависимости
реальной стохастической зависимости
результата уj
от фактора
j.
Степень влияния
производственного фактора
j
на результат производства уj
определим на основе дисперсий
отклонений сглаженных значений
от среднего наблюдаемого
и
отклонений наблюдаемых величин уj
от сглаженных
значений
,
т.е. от линии регрессии (Дост).
Дисперсии вычисляются по формулам:
;
.
;
.
Помимо указанных дисперсий вводится их сумма:
;
.
Для линейной регрессии:
;
.
Коэффициент детерминации В характеризует какая доля изменений величины (у) обусловлена изменением фактора (х).
,
тогда
.
Величина (1-В)
– характеризует
долю изменений величины у
от влияния неучтённых факторов.
Коэффициент детерминации В=0,94
показывает,
что
90%
изменений
величины у
вызвано
изменением производственного фактора
х,
а (1-В)=1-0,90=0,10,
т.е.
10%
обусловлены
влиянием неучтённых факторов. В случае
линейной регрессии
;
;
.
-
стандартное отклонение уj
от поверхности регрессии.
Выборочная оценка
дисперсии отклонения случайной величины
уj
от линии регрессии
равна
;
;
.
Несмещённая
выборочная оценка
стандартного отклонения величины уj
от линии регрессии составляет 0,4, т.е.
находится в пределах
от значений величины
,
полученных из уравнения регрессии.
изменяется
(см.таблица 2) от 9,22 до 14,28, что составляет
4,3 и 2,8% из следующих пропорций:
9,22 – 100 % 14,28 – 100%
0,4 – х 0,4 –х
х=4,3% ; х=2,8%.
Проблема достаточности данных
При случае малых выборок необходимо обеспечить выполнения условия:
,
где L
– число параметров; т.е. число выборки
должно превышать количество параметров
хотя бы на 10.
Для нашей задачи минимально необходимый объём выборки 2+10=12.
Экономические характеристики производственных функций
Дополнительный
продукт фактора
(предельная производительность)
определяется производной:
(при фиксации всех
остальных факторов).
Для линейной зависимости у = a0+a1x
,
.
Дi
равен
приросту продукции
за счёт увеличения i-го
фактора на
единицу
и характеризует тем изменения (у)
в данной точке при изменении фактора
(хi
).
Дополнительный
продукт фактора для линейной регрессии
есть const,
равная
.
Средняя производительность
– средний темп
изменения у
при увеличении фактора от нуля до
заданного значения хi
.
.
При
;
при
;
при
.
Коэффициент эластичности
Для линейной регрессии коэффициент эластичности равен:
Коэффициент эластичности показывает на сколько процентов изменится результат производства( у) при изменении фактора (х) на 1%.
При
,
коэффициент эластичности равен:
,
т.е. при изменении фактора на 1% результат
изменится на 0,21%.