41

Задание I применение временных рядов в экономике недвижимости Демонстрационная задача №1

При разработке бизнес-плана инвестиционного проекта необходимо установить расчетную величину цены кв. метра коммерческой недвижимости на год начала продаж 2013 год.

По данным прошлых лет имеется следующая фактическая цена продажи объектов недвижимости (тыс.усл. ед/м кв.), представленная в таблице 1:

Таблица 1

Исходные данные к задаче 1

Годы	Порядковый номер года, (хj)	Фактическая цена, туе/мкв, (уj)
2000	1	8,8
2001	2	9,0
2002	3	10,4
2003	4	11,5
2004	5	11,0
2005	6	11,8
2006	7	12,0
2007	8	12,5
2008	9	13,0
2009	10	13,3
2010	11	13,5
2011	12	14,2

Необходимо установить тренд изменения цен продаж по годам и рассчитать цену на 2013 год.

Решение задачи

Для того, чтобы понять имеется ли зависимость между значением цен на коммерческую недвижимость и годами, построим график в двухмерной системе координат (x,y), где у – цена продаж, х – годы (рис.1).

Графический способ представления исходной информации используется, когда важно не только значение результата зависимой переменой, но и направление и характер его изменения.

По графическому представлению построенному по данным таблицы 1, можно предположить, что эта зависимость носит линейный характер, тогда реальную зависимость можно заменить функциональной линейной связью: y=a₀+a₁x .

14,0

4

2

5

12,0

3

1

10,0

8,0

0 2 4 6 8 10

Рис. 1. Графическое представление зависимости цен продаж от времени. Точками показаны результаты наблюдений.

Для определения параметров a₀ и a₁ используем принцип наименьших квадратов.

Для получения системы нормальных уравнений приравняем нулю первые производные суммы квадратов отклонений случайных величин (у^j) от соответствующих значений уравнения регрессий по параметрам а₀ и а₁:

;

Получаем следующую систему нормальных уравнений:

;

;

.

В данных уравнениях величины и - статистические данные, представленные в табл.1, а параметры a₀ и a₁ неизвестные величины, которые определим из решения двух уравнений с двумя неизвестными.

Для расчета коэффициентов системы нормальных уравнений а₀, а₁ составим таблицу 2.

Таким образом, линейное функциональное представление изменение цены продаж от времени примет вид:

ў=f(x)=8,76+0,46х.

Подставляя в полученное уравнение значения (х^j), определим расчетную величину цены по годам (ў):

y₂₀₀₀=8,76+0,46∙1=9,22

y₂₀₀₁=8,76+0,46∙2=9,68

y₂₀₀₂=8,76+0,46∙3=10,14

Таблица 2

Расчёт коэффициентов системы нормальных уравнений

для расчета параметров «a₀» и «а₁»

(случай линейного представления зависимости)

Годы (j)	хj	уj	(хj)2	хj уj	Ўj сглаж Ўj=f(x)	(уj)2для расчёта rуx
2000	1	8,8	1	8,8	9,22	77,44
2001	2	9,0	4	18,0	9,68	81
2002	3	10,4	9	31,2	10,14	108,16
2003	4	11,5	16	46	10,60	132,25
2004	5	11,0	25	55	11,06	121
2005	6	11,8	36	70,8	11,52	139,24
2006	7	12,0	49	84,0	11,98	144
2007	8	12,6	64	100,0	12,44	156,25
2008	9	13,0	81	117	12,9	169
2009	10	13,3	100	133	13,36	176,89
2010	11	13,5	121	148,5	13,82	182,25
2011	12	14,2	144	170,4	14,28	201,64
∑	78	141	650	982,7	141	1689,12
( )2	6084	19881
∑/п		11,75

y₂₀₀₃=8,76+0,46∙4=10,60

y₂₀₀₄=8,76+0,46∙5=11,06

у₂₀₁₁=8,76+0,46∙12=14,28

Варианты расчета прогнозируемой цены для контроля:

у₂₀₁₁=у₂₀₀₅+0,46 ∙ х_{2011 -2005}=11,52+0,46∙6=14,28.