9.10. Круговая диаграмма четырехполюсника

Круговой диаграммой называется геометрическое место точек, по которым перемещается конец вектора входного тока четырехполюсника при изменении величины сопротивления нагрузки от 0 до  и неизменном угле сдвига фаз между напряжением и током на выходе четырехполюсника. Для линейного четырехполюсника это геометрическое место (годограф) представляет собой дугу окружности – отсюда и название.

Докажем, что выражение , где , , , при изменении n от 0 до  представляет собой уравнение дуги окружности, проходящей через начало координат.

После приведения к общему знаменателю получаем

.

На векторной диаграмме (рис. 9.14) этой формуле соответствуют два вектора ( и ), сумма которых при любых значениях n остается постоянной. Причем не меняется и угол  между этими векторами, также как и угол  при вершине М треугольника ОМК, вследствие чего он оказывается вписанным в окружность.

Отсюда следует, что конец вектора при изменении n перемещается по дуге ОМК окружности, для которой отрезок ОК является хордой. Иными словами, вышеприведенное выражение при указанных условиях действительно описывает дугу окружности на комплексной плоскости. Покажем, как найти положение точки М для любого значения n. Отложим от точ­

ки А вдоль ОК отрезок ОА = а в некотором масштабе. Проведем из точки А прямую под углом (–) к АК. Если  > 0, то треугольники OAN и OMK подобны, поскольку имеют общий угол при вершине O и одинаковые углы . Из подобия треугольников следует равенство отношений

Значит, если OA = a, то AN = n в том же масштабе. Линия AN’ называется линией переменного параметра. Откладывая на ней различные отрезки AN, соответствующие разным значениям n, и соединяя их концы N с точкой O, можно получить на пересечении с дугой необходимое положение точки М. При n = 0 имеем (OM = OK), а при n   точка М сливается с точкой O, секущая ON становится касательной (показана пунктиром). При этом точка N уйдет в бесконечность и окажется ON  . Отсюда ясно, что центр окружности С, частью которой является дуга ОМК, лежит на пересечении двух перпендикуляров: к середине хорды (ВD  OK) и к линии переменного параметра (OЕ  ).

Покажем, что ток пассивного четырехполюсника (рис. 9.15) можно выразить через сопротивление нагрузки   таким образом, что получится формула, представляющая собой уравнение дуги окружности.

Из основных уравнений четырехполюсника в форме А следует:

, где

то есть .

Кроме того, если по отношению к зажимам сопротивления четырехполюсник вместе с источником рассматривать как активный двухполюсник и заменить его эквивалентным генератором, то окажется

Поэтому формулу входного тока четырехполюсника можно переписать так:

Таким образом, если действующее значение напряжения на входе четырехполюсника не меняется и неизменным остается характер нагрузки , то при изменении величины сопротивления нагрузки в пределах от 0 до  входной ток определяется выражением

.

Очевидно, второе слагаемое данного соотношения – это уравнение дуги окружности с хордой , эта дуга и есть круговая диаграмма четырехполюсника (рис. 9.16).