8.13. Применение метода симметричных составляющих к расчету цепей с местной несимметрией

Нормальным режимом работы динамической трехфазной цепи является симметричный режим. В некоторых случаях (как правило, связанных с авариями – обрыв линейного провода, короткое замыкание фазы и т. п.) в цепи появляется несимметричный участок. Остальные участки симметричны, в том числе источники электрической энергии. Такая цепь называется цепью с местной несимметрией.

В подобных схемах не работает принцип независимости действия симметричных составляющих. Например, ЭДС прямой последовательности могут вызвать (и вызывают!) токи обратной и нулевой последовательностей. Следовательно, метод симметричных составляющих непосредственно к расчету таких цепей неприменим. Но если на основе теоремы компенсации заменить несимметричный участок соответствующей трехфазной системой источников напряжения или тока, то получится уже симметричная цепь, в которой действует несимметричная трехфазная система ЭДС или токов эквивалентных источников. Пусть эти величины неизвестны, но в соответствии с условиями замены можно составить необходимые дополнительные уравнения для их определения. Главное, что такую цепь уже можно рассчитывать методом симметричных составляющих.

Цепь с продольной несимметрией имеет несимметричный участок, включенный последовательно в фазы линии или нагрузки (рис. 8.28,а).

Согласно теореме компенсации заменим фазы этого участка источниками ЭДС, которые равны падениям напряжения на элементах участка (рис. 8.28,б). В результате получим симметричную цепь с несимметричным трехфазным источником. Если комплексные сопротивления фаз несимметричного участка известны, то вводимые вместо них фазные ЭДС связаны с токами законом Ома:

Это условия несимметрии, которые следует использовать вместе с уравнениями метода симметричных составляющих для определения неизвестных токов ,  , и напряжений ,  ,  . Сопротивления могут принимать любые значения от нуля и до бесконечно больших величин. Например, в случае обрыва линейного провода между точками А и а и неповрежденных проводах двух других фаз окажется . Если сопротивлениями проводов линии пренебречь или включить их в параметры симметричных участков, то условия несимметрии будут выглядеть так: .

Цепь с поперечной несимметрией имеет несимметричный участок, подключенный параллельно фазам нагрузки или между фазами линии и нулевым проводом, роль которого может играть и «земля» (рис.8.29,а).

Проделав с помощью теоремы компенсации ту же операцию, что и в предыдущем случае, вновь получим симметричную цепь с несимметричной системой эквивалентных ЭДС (рис. 8.29,б). Теми же останутся и условия несимметрии при известных сопротивлениях фаз несимметричного участка , , . Иногда удобно использовать замену несимметричного участка системой эквивалентных источников тока ,  , .

Пример 8.3

Обрыв одного из линейных проводов (Aa), связывающих генератор Г и двигатель Д, обмотки которых соединены звездой с нейтральным проводом (рис. 8.30,а).

Известны ЭДС генератора, образующие симметричную систему прямой последовательности , сопротивления всех последовательностей генератора , , и двигателя , , , в которых учтены и сопротивления линии, а также сопротивление нулевого провода .

Определить линейные токи , ,ток в нейтральном проводе , а также напряжение между концами оборванного провода .

Решение

1. Заменим несимметричный участок (Аа, Вв, Сс) системой ЭДС ,  ,  (рис. 8.30,б). Чтобы замена была эквивалентной, должны выполняться условия несимметрии: , , .

2. Разложим систему эквивалентных ЭДС на симметричные составляющие и для расчета симметричных составляющих токов применим принцип наложения. Для этого составим подсхемы отдельных последовательностей (рис. 8.31,а,б,в). В каждой из них действуют ЭДС только данной последовательности, токи протекают по сопротивлениям той же самой последовательности, так что обеспечивается симметричный режим. Поэтому расчет можно вести на одну фазу. Дополнительные уравнения (п.3) будут выглядеть проще, если выбрать для этого «особую» фазу – в данном случае это фаза А.

Обратим внимание на две особенности.

ЭДС генератора образуют симметричную систему прямой последовательности, поэтому входит только в схему этой последовательности (рис. 8.31,а).

В схемах прямой и обратной последовательностей, как было показано выше, ток в нулевом проводе отсутствует. Поэтому потенциалы точек N и n равны и их можно замкнуть накоротко (рис. 8.31,а,б). В схеме же нулевой последовательности по нулевому проводу протекает утроенный линейный ток. Поэтому, чтобы сохранить напряжение между нейтральными точками генератора и двигателя в схеме на одну фазу, в нее нужно включить утроенное сопротивление нулевого провода (рис. 8.31,в).

3. Перепишем условия несимметрии применительно к составляющим тока и напряжения особой фазы, используя формулы (8.1–8.4):

4. Выразим составляющие тока в каждой из подсхем по закону Ома и, просуммировав их с учетом соотношения между составляющими напряжения , определим последнее:

.

5. Затем вычисляются симметричные составляющие тока и, наконец, определяются искомые токи в виде суммы их симметричных составляющих:

Примечание. Для упрощения расчетов аварийных режимов энергосистем их в значительной степени формализуют, составляя эквивалентные расчетные схемы на одну фазу для каждого аварийного режима. Например, для рассматриваемого примера требуемую схему можно составить следующим образом.

Соединим проводником точки А всех трех подсхем и – другим проводником – точки а этих подсхем. Режим работы каждой из них при этом не изменится, поскольку напряжения везде одинаковы. Больше того, поскольку суммарный ток всех трех источников равен нулю, то эти источники можно вообще отключить и режим остальной части цепи по-прежнему не изменится! В результате получается расчетная схема, которая показана на рис. 8.31,г. Нетрудно убедиться, что формулы для определения составляющих токов и напряжения на зажимах оборванного провода линии остаются теми же самыми. В этом легко убедиться, рассчитав эту схему, например, методом узловых потенциалов.

Пример 8.4

Короткое замыкание одной фазы линии (А) на землю в системе генератор–двигатель, фазы которых соединены звездой, причем нейтральная точка генератора заземлена (рис. 8.30,а).

Известны ЭДС генератора, образующие симметричную систему прямой последовательности , сопротивления генератора и двигателя всех последовательностей , , , , , , включающие в себя сопротивления проводов линии, и сопротивление заземления .

Определить ток короткого замыкания .

Решение

1. Заменим несимметричный участок системой источников тока , , , на зажимах которых сохраняются напряжения , , (рис. 8.32,б). Чтобы замена была эквивалентной, должны выполняться условия несимметрии: , , . В то же время .

2. Разложим систему токов , , на симметричные составляющие и применим принцип наложения. В подсхемах для каждой последовательности существует симметричный режим, поэтому расчет можно вести на одну фазу («особую» – в данном случае это опять фаза А). На рис. 8.33 показаны эти подсхемы. Обратим внимание, что ток нулевой последовательности в фазах двигателя не течет, поскольку его нейтральная точка не заземлена. В то же время в схему нулевой последовательности входит утроенное сопротивление заземления (по той же причине, что и в предыдущем примере). Справедливым остается и замечание по поводу ЭДС генератора.

3. Перепишем условия несимметрии применительно к составляющим тока и напряжения особой фазы с учетом формул (8.1–8.4):

4. Найдем по закону Ома составляющие напряжения на зажимах источников тока в подсхемах и, просуммировав их с учетом соотношения между составляющими тока , определим ток короткого замыкания.

Примечание. Составим и для этого режима расчетную схему замещения. В схемах рис. 8.33,а,б,в по отношению к зажимам источников тока заменим параллельные ветви одной эквивалентной. При этом в каждой из подсхем будет протекать один и тот же ток . Поэтому можно объединить эти подсхемы в один контур и каждая из них будет работать в прежнем режиме. Больше того, источники тока можно замкнуть накоротко, а ток в контуре останется прежним, поскольку суммарное напряжение на этих источниках равно нулю. В результате получим расчетную схему, которая показана на рис. 8.33,г. Нетрудно убедиться, что формулы для определения тока короткого замыкания и симметричных составляющих напряжения сохраняют свой вид.