8.2. Симметричный режим работы трехфазной цепи
В симметричном режиме симметричная система ЭДС питает симметричную нагрузку. Как уже отмечалось, в этом режиме системы токов и напряжений также будут симметричны.
Пример 8.1. Соединение звездой (схема на рис. 8.5,а).
Даны:
симметричная система фазных напряжений
;
;
и комплексные сопротивления фаз
.
Найти все токи, построить векторную диаграмму.
Решение
По закону Ома
По второму закону Кирхгофа
Таким
образом, в данном случае
.
Векторная диаграмма построена на рис. 8.5,б.
Очевидно, мощности фаз одинаковы, а для вычисления мощностей всей цепи нужно каждую из них утроить:
активная
мощность 
;
реактивная
мощность 
.
Пример 8.2. Соединение треугольником (схема на рис. 8.6,а).
Известны
фазные (они же линейные) напряжения
,
,
и комплексные сопротивления фаз
.
Найти все токи, построить векторную диаграмму.
Решение
По закону Ома
По первому закону Кирхгофа
Таким
образом, в рассматриваемом случае
.
Векторная диаграмма построена на рис. 8.6,б.
Что касается активной и реактивной мощностей фаз и всей цепи, то они вычисляются по тем же формулам, что и в примере 8.1.
Пример 8.3
Сложная симметричная цепь (рис. 8.7).
Дано:
а также комплексные сопротивления
соответствующих участков каждой из
фаз.
Найти все токи.
Решение
Все
симметричные треугольники следует
преобразовать в эквивалентные звезды.
В данном случае треугольник
из трех одинаковых сопротивлений
заменен звездой, сопротивление каждого
из лучей которой
.
На рис. 8.8 показана эквивалентная звезда,
каждое из сопротивлений которой
.
На
векторной диаграмме нейтральные точки
всех этих звезд
в силу симметрии должны лежать в центре
тяжести треугольника линейных напряжений.
Следовательно, потенциалы соответствующих
узлов схемы одинаковы. Если их соединить
нулевым проводом (показан пунктиром на
рис 8.9), то ток в нем будет равен нулю и
режим работы цепи не изменится. Но в
этом случае фазы работают независимо
друг от друга, как в несвязанной цепи
(рис. 8.2), и одну из них (например, фазу А)
можно выделить вместе с нейтральным
проводом (рис. 8.9).
|
Расчет же полученной таким способом однофазной цепи прост. По закону Ома и «правилу параллельных ветвей» имеем:
|
, где 
;
;
.В
одной из фаз треугольника исходной
схемы определяем ток, как и в примере
8.2
.
Токи
в соответствующих участках остальных
фаз легко найти с помощью фазового
оператора. Например,
8.3. Расчет статической несимметричной трехфазной цепи
Статической называют трехфазную цепь, не содержащую электродвигателей, чьи схемы замещения в несимметричном режиме очень сложны из-за наличия индуктивной связи между обмотками. По той же причине следовало бы исключить и генераторы, но внутреннее сопротивление их фаз пренебрежимо мало по сравнению даже с сопротивлением проводов, поэтому их в схеме замещения можно представить идеальными источниками ЭДС.
Расчет статической трехфазной цепи в принципе ничем не отличается от расчета однофазной цепи с несколькими источниками одной частоты. Если цепь сложная, то обычно применяют метод узловых потенциалов с использованием узловой матрицы для записи уравнений. Если цепь не слишком сложная, то ее с помощью эквивалентных преобразований упрощают до схемы с двумя узлами и находят линейные токи. Затем, используя законы Ома и Кирхгофа, определяют токи в исходной схеме.
Пример 8.4. Соединение звездой с нейтральным проводом (эквивалентная схема показана на рис. 8.10). Известны фазные ЭДС, сопротивления проводов линии, нейтрального провода и фаз нагрузки. Найти линейные токи и ток в нейтральном проводе. |
|
Решение
Пусть
,
тогда по методу двух узлов
где
;
;
Затем по закону Ома для пассивных и активных ветвей:
;
;
;
.
Если рассматривается соединение
звездой без нейтрального провода при
заданных фазных ЭДС и сопротивлениях,
то решение аналогично вышеприведенному
при
Пример 8.5
Соединение звездой без нейтрального провода (рис. 8.11,а), но заданы линейные напряжения и эквивалентные сопротивления фаз.
Решение
Включим
между зажимами AB
и BC
две ЭДС, равные линейным напряжениям
и
(рис. 8.11,б). Линейные токи в соответствии
с теоремой компенсации при этом не
изменятся.
Найдем
ток
с помощью метода преобразований, заменив
параллельные ветви A
и C
(рис. 8.11,в)
одной эквивалентной:
;
.
Тогда по закону Ома
,
где
Проанализировав выражение для тока , легко можно записать формулы для определения двух других токов, всего лишь циклически переставляя индексы:
;
.
В
то же время
, (8.1)
где
.
После циклической перестановки индексов получаются выражения двух других фазных напряжений:
;
.
Пример 8.6а. Частный случай.
Известны линейные напряжения (симметричная система)
и
одинаковые сопротивления двух фаз
;
сопротивление третьей (тоже активное) может изменяться от 0 до
Найти
пределы изменения фазного напряжения
.
Решение
При
k
=
оказывается
.
Тогда
из формулы (8.1) следует
и значит точка n
на векторной диаграмме (рис. 8.12,a)
расположена посередине отрезка,
соединяющего точки B
и C.
В случае k = 1 точка n лежит в центре тяжести N треугольника линейных напряжений (симметричный режим).
А
при k
= 0 и
.
На векторной
диаграмме точка n
совпадает с
вершиной треугольника А.
Таким
образом, при изменении k
от 0 до
искомое фазное напряжение изменяется
от 0 до
.
При этом нейтральная точка нагрузки на
векторной диаграмме перемещается вдоль
медианы nA
треугольника линейных напряжений.
Пример 8.6б. Другой частный случай.
При
тех же, что и в примере 8.6а линейных
напряжениях и сопротивлениях фаз В
и С,
активное сопротивление фазы А
заменим на емкостное
и снова найдем
.
.
Точка
n
на векторной
диаграмме (рис. 8.12,б) сместилась ближе
к точке С,
так как
.
Фазные токи пропорциональны соответствующим
напряжениям. Это дает возможность
определить порядок чередования фаз с
помощью емкостного
фазоуказателя.
Для этого нужно лишь собрать схему (рис. 8.13,а), в которой емкость находилась бы в предполагаемой фазе А, а в двух других фазах две одинаковые лампы. Очевидно, ярче будет светиться та, что находится в фазе В (тускло – в фазе С). Заменив емкость индуктивностью (рис. 8.13,б), получим индуктивный фазоуказатель, в котором, очевидно, лампа фазы С будет гореть ярче, чем в фазе В.
