12. Линии второго порядка: парабола и его свойства.

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки   и заданной прямой  , не проходящей через заданную точку. Это геометрическое определение выражает директориальное свойство параболы.

Т очка   называется фокусом параболы, прямая   — директрисой параболы, середина   перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису, — вершиной параболы, расстояние   от фокуса до директрисы — параметром параболы, а расстояние   от вершины параболы до её фокуса — фокусным расстоянием. Прямая, перпендикулярная директрисе и проходящая через фокус, называется осью параболы (фокальной осью параболы). Отрезок  , соединяющий произвольную точку   параболы с её фокусом, называется фокальным радиусом точки  . Отрезок, соединяющий две точки параболы, называется хордой параболы.

эксцентриситет параболы по определению равен единице  .

Геометрическое определение параболы, выражающее её директориальное свойство, эквивалентно её аналитическому определению — линии, задаваемой каноническим уравнением параболы:

Уравнение параболы в полярной системе координат  имеет вид

где   — параметр параболы, а   — её эксцентриситет. Геометрический смысл параметра в уравнении параболы

Подставляя в уравнение , получаем  , т.е.   . Следовательно, параметр   — это половина длины хорды параболы, проходящей через её фокус перпендикулярно оси параболы.

Уравнение   определяет параболу с вершиной  , ось которой параллельна оси абсцисс. Уравнение  , также определяет параболу с вершиной  , ось которой параллельна оси ординат

Г рафик квадратного трехчлена   является параболой с вершиной в точке  , ось которой параллельна оси ординат, ветви параболы направлены вверх (при  ) или вниз (при  ).

Пример 3.22. Изобразить параболу   в канонической системе координат  . Найти фокальный параметр, координаты фокуса и уравнение директрисы.

  . Координаты фокуса  , т.е.  . Составляем уравнение директрисы  , т.е.  .

1. Директориальное свойство может быть использовано как единое определение эллипса, гиперболы, параболы (см. рис.3.50): геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки   (фокуса) к расстоянию до заданной прямой   (директрисы), не проходящей через заданную точку, постоянно и равно эксцентриситету  , называется:

а) эллипсом, если  ;

б) гиперболой, если  ;

в) параболой, если  .

13. Топологические пространства.

Топологическое линейное пространство или топологическое векторное пространство — линейное пространство наделённое топологией, относительно которой операции сложения и умножения на число непрерывны.

Множество E называется топологическим линейным пространством, если

1. E представляет собой линейное пространство над полем вещественных или комплексных чисел;

2. E является топологическим пространством;

3. Операции сложения и умножения на число непрерывны относительно заданной в E топологии, т. е.

   1. если z₀ = x₀ + y₀, то для каждой окрестности U точки z₀ можно указать такие окрестности V и W точек x₀ и y₀ соответственно, что при , ;

   2. если y₀ = α₀x₀, то для каждой окрестности U точки y₀ существуют такая окрестность V точки x₀ и такое число , что при и .

Употребляется также термин "топологическое векторное пространство".

Типы линейных топологических пространств

В зависимости от конкретных приложений, обычно на линейные топологические пространства накладываются те или иные дополнительные условия. Ниже перечислены некоторые типы линейных топологических пространств, упорядоченных (с определённой степенью условности) по наличию у них «хороших» свойств.

1. Локально выпуклые топологические векторные пространства: в таких пространствах каждая точка имеет локальную базу, состоящую из выпуклых множеств. Условие локальной выпуклости является довольно общим; пространства, не являющиеся локально выпуклыми, могут обладать разнообразными патологическими свойствами, и их геометрия может быть слишком «неестественной» для приложений.

2. Бочечные пространства: локально выпуклые пространства, где выполняется Теорема Банаха — Штейнгауза.

3. Монтелевские пространства: бочечные пространства, обладающие свойством Гейне — Бореля.

4. Борнологические пространства: локально выпуклые пространства, в которых непрерывные линейные операторы со значениями в локально выпуклых пространствах есть в точности ограниченные линейные операторы.

5. LF-пространства: LF-пространство — это индуктивный предел пространств Фреше. ILH-пространства — проективные пределы гильбертовых пространств.

6. F-пространства: полные топологические векторные пространства с инвариантной (относительно сдвигов) метрикой. В частности, таковыми являются все пространства L^p (p > 0).

7. Пространства Фреше: локально выпуклые пространства, топология которых задаётся некоторой инвариантной (относительно сдвигов) метрикой, или, что то же самое, счётным семейством полунорм. Понятие пространства Фреше представляет собой одно из важнейших обобщений понятия банахова пространства. Многие функциональные пространства, представляющие интерес, являются пространствами Фреше. Пространство Фреше можно определять так же как локально выпуклое F-пространство.

8. Ядерные пространства: важный частный случай пространств Фреше; в ядерных пространствах каждое ограниченное отображение со значениями в произвольном банаховом пространстве является ядерным оператором. Ядерные пространства, наряду с банаховыми, являются пространствами Фреше, представляющими наибольший интерес. При этом классы ядерных и банаховых пространств в пересечении образуют класс конечномерных пространств.

9. Нормированные пространства: локально выпуклые пространства, топология которых задаётся нормой. Линейные операторы, действующие в нормированных пространствах, непрерывны тогда и только тогда, когда они ограничены.

10. Банаховы пространства: полные нормированные пространства. Они представляют собой объект изучения классического функционального анализа; большая часть теорем анализа формулируется именно для банаховых пространств.

11. Рефлексивные банаховы пространства: Банаховы пространства, естественно изоморфные своему второму сопряжению.

12. Гильбертовы пространства: банаховы пространства, норма которых порождается скалярным произведением; несмотря на то, что эти пространства могут быть и бесконечномерными, их геометрические свойства весьма близки к свойствам конечномерных пространств.

13. Евклидовы пространства: конечномерные гильбертовы пространства. Всякое локально компактное хаусдорфово топологическое векторное пространство изоморфно (как топологическое векторное пространство) некоторому евклидову пространству.