10. Линии второго порядка: эллипс и его свойства.

Линии второго порядка, плоские линии, декартовы прямоугольные координаты, которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-й степени

  a₁₁x² + a₁₂xy + a₂₂y² + 2a₁₃x + 2a₂₃y + a₁₁ = 0. (*)

Э ллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек  , и   есть величина постоянная  , бо́льшая расстояния   между этими заданными точками (рис.3.36,а). Это геометрическое определение выражает фокальное свойство эллипса:

Точки  , и   называются фокусами эллипса, расстояние между ними   — фокусным расстоянием, середина   отрезка   — центром эллипса, число   — длиной большой оси эллипса (соответственно, число   — большой полуосью эллипса). Отрезки   и  , соединяющие произвольную точку   эллипса с его фокусами, называются фокальными радиусами точки  . Отрезок, соединяющий две точки эллипса, называется хордой эллипса.

Отношение   называется эксцентриситетом эллипса. Из определения   следует, что  . При  , т.е. при  , фокусы   и  , а также центр   совпадают, и эллипс является окружностью радиуса   .

Геометрическое определение эллипса, выражающее его фокальное свойство, эквивалентно его аналитическому определению — линии, задаваемой каноническим уравнением эллипса:

Если фокусы эллипса совпадают, то эллипс представляет собой окружность, поскольку  . В  является уравнением окружности с центром в точке   и радиусом, равным  .

Директрисами эллипса называются две прямые, проходящие параллельно оси ординат канонической системы координат на одинаковом расстоянии  от нее. При  , когда эллипс является окружностью, директрис нет (можно считать, что директрисы бесконечно удалены).

У равнение эллипса в полярной системе координат имеет вид

где   фокальный параметр эллипса.

Геометрический смысл коэффициентов в уравнении эллипса

Подставляя в уравнение  , находим точки пересечения эллипса с осью абсцисс (с фокальной осью):  . Следовательно, длина отрезка фокальной оси, заключенного внутри эллипса, равна  . Этот отрезок, как отмечено выше, называется большой осью эллипса, а число   — большой полуосью эллипса. Подставляя  , получаем  . Следовательно, длина отрезка второй оси эллипса, заключенного внутри эллипса, равна  . Этот отрезок называется малой осью эллипса, а число   — малой полуосью эллипса.

Действительно,  , причем равенство   получается только в случае  , когда эллипс является окружностью. Отношение   называется коэффициентом сжатия эллипса.

Уравнение   определяет эллипс с центром в точке  , оси которого параллельны координатным осям. Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса.

При   уравнение   описывает окружность радиуса   с центром в точке  .

Параметрическое уравнение эллипса в канонической системе координат имеет вид

Действительно, подставляя эти выражения в уравнение (3.49), приходим к основному тригонометрическому тождеству  .