4. Скалярное произведение векторов и его свойства. Евклидово векторное пространство

Угол между двумя ненулевыми векторами а и б называется угол между равными им векторами ОА=а и ОВ=б, отложенными от данной точки.

Если векторы сонаправлены, то угол между ними считается равным нулю; если векторы противоположно направлены , то угол между ними 180.

Если угол между векторами а и б равен 90, то векторы называются перпендикулярными.

Определение Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется произведение модулей этих векторов и косинуса угла между ними. Если из двух данных векторов хотя бы один нулевой, то скалярное произведение двух таких векторов считается равным нулю. Аб

Если а=б, то скалярное произведение аа называется скалярным квадратом вектора а и он равен квадрату его модуля.

Свойства скалярного произведения

1. а²>=0, причем а²>0, если а не=0

2. аб=ба (между ними точка)

3. (ка)б=а(кб)=к(аб), к - число, а и б – векторы

4. (а+б)с=ас+бс (а б с – векторы)

Часто используют, вытекающие из этих свойств равенства :

(а+б)²=а²+2аб+б²; (а-б)²=а²-2аб+б²

Два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно 0.

Геометричекий смысл скалярного умножения

Рассмотрим ортогональную проекцию   ненулевого вектора   на ось, задаваемую вектором   (рис. 1.37). Согласно пункту 1 замечаний 1.4, алгебраическое значение   длины проекции равно произведению длины вектора   на косинус угла между векторами   и  :

Умножив обе части этого равенства на  , получим . Сравнивая с (1.7), делаем вывод: скалярное произведение ненулевых векторов   и   равно произведению длины вектора   на алгебраическое значение длины ортогональной проекции вектора   на ось, задаваемую вектором  :

Эта формула остается справедливой и в случае  , так как  .

Аналогично доказывается формула  и делается вывод о том, что скалярное произведение ненулевых векторов   и   равно произведению длины вектора   на алгебраическое значение длины ортогональной проекции вектора   на ось, задаваемую вектором  .

,

 итд,

скалярное произведение будет выражаться приведённой следующей формулой:

.Если оба вектора ненулевые, то косинус угла между ними вычисляется по формуле:

Е диничные ортогональные векторы. В любой прямоугольной системе координат можно ввести единичные попарно ортогональные векторы  i,  j и k,  связанные с координатными осями:  i – с осью Х,   j – с осью Y и  k – с осью Z. В соответствии с этим определением:

 ( i , j ) = ( i , k ) = ( j , k ) = 0, 

 | i | = | j | = | k | = 1.

  Любой вектор  a  может быть выражен через эти векторы единственным образом:  a =  x i + y j + z k . Другая форма записи:  a = ( x, y, z ). Здесь x,  y,  z - координаты вектора a  в этой системе координат. В соответствии с последним соотношением и свойствами единичных ортогональных векторов   i,  j , k скалярное произведение двух векторов можно выразить иначе.

Определение ЛВП Е называется евклидовым, если каждой паре векторов х, у из этого пространства поставлено в соответствии действительное число хумну , называемое скалярным произведением и выполняются свойства 1-4

Является непосредств. обобщением обычного трёхмерного пространства. В Е. п. существуют декартовы координаты, в к-рых скалярное произведение (ху )векторов х- (x₁, . . . , х _n )и y = (y₁, . . . , y _п )имеет вид (xy)=x₁y₁+. . .+х _n у _п. 

В ещественное линейное пространство, в котором задано скалярное произведение называется евклидовым пространством.   

В евклидовом пространстве модуль вектора определим аналогично