18. Скалярные величины: длина отрезка. Теоремы существования и единственности.

Длиной отрезка называется положительная величина, определённая для каждого отрезка так что:

1) равные отрезки имеют равные длины;

2) если отрезок состоит из конечного числа отрезков, то его длина равна сумме длин этих отрезков.

Рассмотрим процесс измерения длин отрезков. Из множества отрезков выбирают какой-нибудь отрезок e и принимают его за единицу длины. На отрезке а от одного из его концов откладывают последовательно отрезки равные e, до тех пор, пока это возможно. Если отрезки, равные e отложились n раз и конец последнего совпал с концом отрезка e, то говорят, что значение длины отрезка а есть натуральное число n, и пишут: а = ne. Если же отрезки, равные e, отложились n раз и остался ещё остаток, меньший e, тона нём откладывают отрезки равные e =1/10e. Если они отложились точно n раз, то тогда а=n, n e и значение длины отрезка а есть конечная десятичная дробь. Если же отрезок e отложился n раз и остался ещё остаток, меньший e, то на нём откладывают отрезки, равные e =1/100e. Если представить этот процесс бесконечно продолженным, то получим, что значение длины отрезка, а есть бесконечная десятичная дробь.

Итак, при выбранной единице, длина любого отрезка выражается действительным числом. Верно и обратное; если дано положительное действительное число n, n , n , ... то взяв его приближение с определённой точностью и проведя построения, отражённые в записи этого числа, получим отрезок, численное значение длины которого, есть дробь: n ,n ,n …

Существование и единственность перпендикуляра к прямой

Теорема. Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один. Доказательство Пусть a – данная прямая и не лежащая на этой прямой точка A. Проведем через какую-нибудь точку прямой a перпендикулярную ей прямую с. Прямая с пересекает прямую a в точке С. Теперь проведем параллельно прямой с прямую b, так чтобы что бы прямая b проходила через точку A. Тогда прямая b a, так как b||с и с a.

Значит отрезок AB a.

Теперь докажем единственность перпендикуляра AB. Допустим, существует еще перпендикуляр, проходящий через точку A к прямой a. Тогда у треугольника ABD будет два угла по 90 °. А этого не может быть, так как сумма всех углов в треугольнике 180 °. Теорема доказана.

19. Скалярные величины: площадь многоугольника. Теорема существования единственности.

В начальном курсе математики рассматриваются только площади многоугольников и ограниченных выпуклых плоских фигур. Такая фигура может быть составлена из других. Например, фигура Fсоставлена из фигур F1, F2, F3. Говоря, что фигура составлена (состоит) из фигур F1, F2,…,Fn, имеют в виду, что она является их объединением и любые две данные фигуры не имеют общих внутренних точек. Площадью фигуры называется неотрицательная величина, определённая для каждой фигуры так, что:

I/ равные фигуры имеют равные площади;

2/ если фигура составлена из конечного числа фигур, то её площадь равна сумме их площадей.

Если сравнить данное определение с определением длины отрезка, то увидим, что площадь характеризуется теми же свойствами, что и длина, но заданы они на разных множествах: длина - на множестве отрезков, а площадь - на множестве плоских фигур. Площадь фигуры F обозначать S(F). Чтобы измерить площадь фигуры, нужно иметь единицу площади. Как правило, за единицу площади принимают площадь квадрата со стороной, равной единичному отрезку e, то есть отрезку, выбранному в качестве единицы длины. Площадь квадрата со стороной e обозначают e². Например, если длина стороны единичного квадрата m, то его площадь m² .

Измерение площади состоит в сравнении площади данной фигуры с площадью единичного квадрата e. Результатом этого сравнения является такое число x, что S(F)=xe .Число x называют численным значением площади при выбранной единице площади.

Определение площади многоугольника. ПустьS есть положительная функция, определенная на множестве всех простых многоугольников, такая, что

1). Из отношения F ≡ G следует равенство S(F) = S(G).

2). Если простой многоугольник F есть сумма многоугольников F1 и F2, то S(F) = S(F1) +S(F2).

3). Если P есть квадрат со стороной равной 1, то S(P) = 1.

При выполнении этих условий значение функции S(F) называется площадью многоугольника F.

Теорема 1. Допустим, что площадь S существует. Тогда для прямоугольника F с длинами сторон, равными x и y, его площадь S(F) = xy.

∗ Пусть F - прямоугольник с длинами сторон x и y. Предположим, что площадь S(F) зависит от длин его сторон, то есть считаем, что S(F) есть функция x и y : S(F) = f(x, y). Отметим свойства функции f(x, y). Из свойства 3) площади следует, что f(1,1) = 1. Пусть прямоугольник F составлен из прямоугольников F1и F2, как на рисунке. Тогда S(F) =S(F1) + S(F2) или f(x, y) = (x1

+ x2, y) =f(x1, y) +f(x2, y). Аналогичным свойством обладает функция f относительно второй переменной: f(x, y) = f(x, y1+y2) = f(x, y1)+f(x, y2). Известно, что положительная функция g(x), определенная при всех x > 0, и удовлетворяющая свойству аддитивности g(x1+ x2) = g(x1) + g(x2), имеет вид g(x) = xg(1) 1. Поэтому можно записать, что f(x, y) = xf(1, y) = xyf(1,1) = xy.∗

Единственность площади

Допустим, что существуют две функции S и H, определенные на множестве всех многоугольников и удовлетворяющие аксиомам площади. Тогда S = H.

∗ Действительно, пусть F - произвольный многоугольник. Представим его каким-нибудь образом как сумму треугольников: F = 41 +42+...+4k.

Тогда из теоремы 1 и аксиомы 2 следует, что S(F) =Xki=1 S(4i ) =Xk i=1H(4i) = H(F)∗