1. Векторы и операция над ними
Определение вектора
Определение 1 Вектором называется направленный отрезок.
Т
аким
образом, вектор - это отрезок, у которого
выделен один конец, называемый концом
вектора. Этот
конец на рисунке обозначается стрелкой.
Другой конец отрезка называется началом
вектора.
В математической
литературе векторы обозначаются обычно
одним из следующих способов:
.
В двух последних случаях
--
обозначение точки, являющейся началом
вектора,
--
концом вектора.
О
пределение
2. Два
вектора называются равными,
то есть не различаются как векторы, если
соответствующие отрезки параллельны,
имеют одинаковую длину и направление.
(если они имеют одинаковую длину и
сонаправлены)
В соответствии с введенным равенством векторов слова "вектор параллелен прямой (плоскости)" и "вектор лежит на прямой (плоскости)" означают одно и то же, так как направленный отрезок можно передвинуть параллельно самому себе, вектор при этом не изменится.
Направленные отрезки АВ и СЕ называются сонаправленными, если одинаково направлены лучи АВ и СЕ и противоположнонаправлеными, если лучи АВ и СЕ противоположно направлены.
Отношение равенства обладает свойствами:
АВ=АВ(рефлексивность); 2) АВ=СЕ=>СЕ=АВ (симметричность); 3) АВ=СЕ, СЕ=РО=>АВ=РО(транзитивность)
Модуль вектора a
обозначается
.
Вектор a
называется единичным,
если
.
К множеству векторов необходимо добавить еще один объект, который мы будем называть нулевым вектором. Его можно рассматривать как отрезок, у которого начало и конец совпадают. Длина такого вектора равна нулю, направления он не имеет. Все нулевые векторы равны друг другу. Так как нулевой вектор лежит на любой прямой, то, по определению, он считается коллинеарным любому вектору и перпендикулярным любому вектору.
Операции над векторами
Законы сложения.
I. a + b = b + a ( П е р е м е с т и т е л ь н ы й закон ).
II. ( a + b ) + c = a + ( b + c ) ( С о ч е т а т е л ь н ы й закон ).
III. a + 0 = a .
IV. a + (– a ) = 0 .
Законы умножения вектора на число.
I. 1 · a = a , 0 · a = 0 , m · 0 = 0 , ( –1 ) · a = – a .
II. m a = a m , | m a | = | m | · | a | .
III. m ( n a ) = ( m n ) a . ( С о ч е т а т е л ь н ы й
закон умножения на число ).
IV. ( m + n ) a = m a + n a , ( Р а с п р е д е л и т е л ь н ы й
m ( a + b ) = m a + m b . закон умножения на число ).
Определение 6 Суммой векторов a и b называется такой третий вектор c, что при совмещенных началах этих трех векторов, векторы a и b служат сторонами параллелограмма, а вектор c -- его диагональю (рис. 2).
С
ложение
векторов в соответствии с рисунком 2
называется сложением
по правилу параллелограмма.
Однако бывает более удобным использовать
для сложения правило
треугольника,
которое становится ясным из рисунка 3.
Из того же рисунка видно, что результаты
сложения по правилу параллелограмма и
по правилу треугольника одинаковы.
Для любых трех точек А, В и С имеет место равенство АВ+ВС=АС
Определение 7
Вектор b
называется противоположным
вектору a,
если a
и b
коллинеарные, имеют противоположные
направления и
.
Вектор,
противоположный вектору a,
обозначается -а, то есть
.
Определение 8
Разностью
векторов a
и b
называется сумма
.
Разность обозначается
,
то есть
.
Разностью векторов а и в называется такой вектор. Сумма которого с вектором в равна вектору а.
Определение 9
Произведением
вектора a
на вещественное
число
называется
вектор b,
определяемый условием
1)
и, если
,
то еще двумя условиями:
2) вектор b коллинеарен вектору a;
3) векторы b
и a
сонаправлены, если
,
и противоположнонаправлены, если
.
Произведение
вектора a
на число
обозначается
(рис
4).
Рис. 4.Умножение вектора на число
Множество V
называется лмнейным векторным
пространством, если для любых а и б будем
сопоставлять вектор а+б и для любого к
будем сопоставлять кА
V
и при этом выполняются следующие
аксиомы:
Теорема 1
Для любых
векторов
и
любых вещественных чисел
выполняются
следующие свойства:
1)
(свойство
коммутативности
операции сложения);
2)
(свойство
ассоциативности
операции сложения);
3)
;
4)
;
5)
(свойство
ассоциативности по отношению к числам);
6)
(свойство
дистрибутивности
по отношению к умножению на число);
7)
(свойство
дистрибутивности по отношению к умножению
на вектор;
8)
.
9) размерность dimV=n
Доказательство. Свойство 1 следует из того, что при сложении векторов по правилу параллелограмма (рис. 2) порядок слагаемых не влияет на построение параллелограмма. Доказательство свойства 2 следует из рисунка 5.
Свойства 3 и 4 очевидны при сложении векторов по правилу треугольника.
Докажем свойство
5.
Векторы,
стоящие в обеих частях доказываемого
равенства, имеют одинаковую длину
.
Если это произведение равно нулю, то
векторы в правой и левой частях
доказываемого равенства нулевые и,
следовательно, равны друг другу. В
противном случае векторы
и
коллинеарны
вектору a
и имеют с ним одинаковое направление,
если числа
и
одного
знака, и направление, противоположное
вектору a,
если
и
разного
знака. Следовательно,
.
Свойство 6
очевидно, если
.
Если
и
векторы a
и b
неколлинеарны, то это свойство вытекает
из подобия треугольников на рисунке 6.
Рис.6.Свойство дистрибутивности
Для доказательства
свойства 7
заметим,
что векторы
и
коллинеарны.
Без ограничения общности можно считать,
что
(в
противном случае поменяем местами
и
в
доказываемом равенстве).
Пусть
и
одного
знака. Тогда
,
.
Пусть
и
имеют
разные знаки. Тогда
,
.
Получили, что
в
обоих случаях.
Векторы f
и g
имеют одно направление. Оно совпадает
с направлением a
при
и
противоположно при
.
Следовательно,
.
Свойство 7 доказано.
Свойство 8 очевидным образом вытекает из определения произведения вектора на число.
И
з
свойства
ассоциативности
следует, что в сумме векторов, содержащей
три и более слагаемых, можно скобки не
ставить. Как найти сумму нескольких
слагаемых, не используя попарных сумм,
видно из рисунка 7.
Ненулевые векторы а и в коллинеарны тогда и только тогда когда найдется такое число х, что в=ха.