Пример 7 Найти общее решение уравнения: Найдем корни характеристического уравнения: , тогда , следовательно , , тогда
фундаментальную систему решений образуют функции:
,
Т.к.
действительные и мнимые решения в
отдельности являются решениями уравнения,
то в качестве линейно независимых частей
решений
и
,
возьмем
,
,
тогда общее решение однородного уравнения
будет иметь вид:
Представим
правую часть уравнения, как
и сравним с выражением, задающим правую
часть специального вида:
.
Имеем
,
,
тогда т.к.
- многочлен второй степени, то общий вид
правой части:
.
Найдем частные решения:
,
,
Сравним
коэффициенты при
слева и справа, найдем
,
решив систему:
,
отсюда
.
Тогда
общее решение заданного неоднородного
линейного уравнения имеет вид:
.
Пример 8
Исследовать
сходимость ряда
Решение: Это знакочередующийся ряд, для которого выполнены условия признака Лейбница:
Члены ряда, взятые по абсолютной величине, составляют убывающую последовательность.
,
т.е. общий член ряда стремится к нулю
при
.
Следовательно, оба условия признака Лейбница выполняются и указанный ряд сходится. Однако ряд, составленный из членов данного ряда, взятые по абсолютной величине, т.е. ряд
1+
- расходится (гармонический ряд)
Тогда исследуемый ряд сходится условно.
Пример 9
Найти область
сходимости ряда
Решение: Находим радиус сходимости ряда по формуле:
R =
Следовательно,
ряд сходится при -2 < x + 2 < 2, т.е.
при – 4 < x < 0, т.е. при х
-
интервал сходимости ряда.
При x = - 4 имеем ряд
- знакочередующийся
ряд, который сходится по признаку
Лейбница.
При x = 0 имеем расходящийся ряд
=
Следовательно,
областью сходимости исходного ряда
[-4; 0), т.е. при х
[-4; 0) ряд сходится, при остальных значениях
х ряд расходится.
Контрольные вопросы к защите контрольной работы и контролю знаний
Неопределенный интеграл, его свойства.
Таблица основных интегралов.
Интегрирование заменой переменной.
Интегрирование по частям.
Интегрирование рациональных дробей.
Интегрирование тригонометрических функций.
Интегрирование некоторых видов иррациональностей.
Определенный интеграл, его свойства.
Вычисление определенных интегралов способом подстановки и по частям.
Приближенное вычисление определенных интегралов.
Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площадей фигур, объемов тел.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
Несобственные интегралы от неограниченных функций.
Несобственные интегралы от разрывных функций.
Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное решение дифференциальных уравнений.
Дифференциальное уравнение первого порядка.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Линейные однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли.
Однородные дифференциальные уравнения второго порядка. Характеристическое уравнение.
Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
Числовые ряды: их сходимость и расходимость.
Необходимые условия сходимости. Свойства сходящих рядов.
Признаки сравнения рядов. Эталонные ряды.
Ряды с положительными членами. Признак Даламбера и Коши.
Интегральный признак Коши - Маклорена.
Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Абсолютная и условная сходимость.
Степенные ряды.
Радиус сходимости. Интервал сходимости. Область сходимости.
Ряды Тейлора и Маклорена.
Разложение в степенной ряд элементарных функций.
Приложение степенных рядов к приближенным вычислениям.
Литература
Основная
Кремер А.В. Высшая математика для экономистов. М.: Высшая школа, 2000
Кремер А.В. Высшая математика для экономистов. М.: Высшая школа, 2004
Красс Н.П. Курс высшей математики. М.: Высшая школа, 2003
4 Баврин, П.И., Матросов В.Л. Общий курс высшей математики. М., Просвещение, 2004
5 Соболь,Б.В., Мишняков, Н.Т., Поркшеян, В.М. Практикум по высшей математике. Ростов на –Дону, Феникс, 2006
6 Федин С.Н. Сборник задач по высшей математике, М.; Айрис пресс, 2006.
Дополнительная
1. Бохан К. А., Егорова И. А., Лащенков К. В. Курс математического анализа под ред. Проф. Б. З. Вулиха. М.: Просвещение, 1978.
2. Зайцев И. А. Высшая математика. М.: Высшая школа, 1991
3 Солодовников, А.С., Бабайцев, В.А., Браилов, А.В. «Математика в экономике», М.;
«Финансы и статистика», 1998 г. (часть 1,2)
5 Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. - М.: Высш.шк., 1978.
6 Данко П. С., Полев А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высшая школа, 1980.
7 Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) под ред. Демидовича Б. Л. М.: Наука, 1978.
8 Давыдов П. А., Коровкин П. Л., Никольский В. П. Сборник задач по математическому анализу. М.: Просвещение, 1973.
9 Щипачев В. С. Высшая математика. М.: Высшая школа, 1976.