Нулевой вариант

Пример 1 = = - х² +3х + С

Пример 2 Вычислить неопределенный интеграл:

Решение: Воспользуемся методом подстановки:

Пример 3 Вычислить неопределенный интеграл:

Вычислить Используем метод интегрирования по частям:

Пусть x = u(x)	ex dx = dv
Тогда х'dx = u(x) 'du
аааааdx = du

В результате получим:

Пример 4 Решить уравнение Решение:

. Умножим обе части на , получим . Проинтегрируем полученное уравнение . Представим , как , тогда

Пример 5

Найти частное решение дифференциального уравнения у' + у = (х+1) удовлетворяющее начальному условию у(0) =1.

Решение. Заданное дифференциальное уравнение является уравнением Бернулли. Полагаем у =uv , где и, v — неиз­вестные функции от х. Тогда

y ' = и'v + иv '. Подставляя у и y ' в ис­ходное уравнение, будем иметь

и'v + иv '+ иv = (х + 1)

и'v + и (v '+ v)= (х + 1)

Подберем функцию v = v(х) так, чтобы выражение, содер­жащееся в квадратной скобке, обращалось в нуль. Для опре­деления v(x) имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Откуда

После интегрирования получим

lnv= - 2ln(х + 1), т. е.

v =1/(x+1)²

Для определения функции и(х) имеем

и'v=(х+1)

или и'=(х+1) )

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции и(х). Разделим переменные, будем иметь

Интегрируя обе части равенства, получаем

Последний интеграл вычисляем методом интегрирования по частям, в результате чего имеем

и=

Используя начальное условие, вычислим соответствующее ему значение постоянной С .

у(0) = -1/С=1 т.е. С=-1 .

Поэтому частное решение исходного дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию имеет вид

у = (х+1)

Пример 6 Решить дифференциальное уравнение: y ^¢¢ – 4y ¢ + 13y = 40 ∙ cos 3x.

Решение: Общее решение ЛНДУ имеет вид y = y_оо + y*. Находим решение однородного уравнения y :

y^¢¢ – 4y^¢ + 13y = 0. Характеристическое уравнение

k² – 4k + 13 = 0 имеет корни k₁ = 2+3i, k₂ = 2-3i. Следовательно,

y = e^2x ∙ (c₁ ∙ cos 3x + c₂ ∙ sin 3x).

Находим частное решение y*. Правая часть ЛНДУ в нашем случае имеет вид

f(x) = e^0x ( 40 cos 3x + 0 ∙ sin 3x). Так как α = 0, β = 3, α + βi = 3i не совпадает с корнем характеристического уравнения, то r = 0 . Согласно формуле, частное решение ищем в виде y* = А cos3x + B sin3x. Подставляем y* в исходное уравнение. Имеем:

(y*)^¢ = -3A sin3x = 3B cos3x,

(y*)^¢¢ = - 9Acos3x – 9Bsin3x

Получаем: -9Acos3x – 9Bsin3x – 4(-3A sin3x = 3B cos3x)+13(Acos3x+ +Bsin3x) = 40 cos3x

или (-9A-12B+13A)cos3x+(-9B+12A+13B)sin3x = 40cos3x + 0∙ sin3x

отсюда имеем:

4А – 12В = 40,

12А + 4В = 0

Следовательно, А = 1, В = -3. поэтому y*= cos3x – 3sin3x. И, наконец,

y = e^2x(c₁∙cos3x + c₂ ∙ sin3x) +cos3x – 3sin 3x – общее решение уравнения.