4.4. Производная функции одной переменной

Определение. Производной функции в точке называют предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к 0 (при условии, что этот предел существует):

.

Геометрически производная определяет угловой коэффициент касательной к графику в точке .

Уравнение касательной к кривой:

.

Уравнение нормали к кривой:

, если .

Физический смысл: характеризует мгновенную скорость изменения функции при .

Таблица производных

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. .

Правила дифференцирования

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. 

9. ;

10. ;

11. .

Правило Лопиталя

Теорема (Лопиталя). Если функции и :

1. дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки ;

2. при одновременно являются бесконечно малыми или бесконечно большими;

3. в этой окрестности;

4. существует предел отношения производных (конечный или бесконечный), то существует и предел , причем справедлива формула

.

4.5. План полного исследования функции

I. Область определения и область непрерывности:

1. если есть точки разрыва, установить их характер, найдя пределы слева и справа;

2. выяснить, не является ли функция четной (график симметричен относительно ) или нечетной (график симметричен относительно начала координат), периодической;

3. найти точки пересечения с осями координат.

II. Асимптоты.

Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние δ от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к 0 (точка удаляется в бесконечность, если ее расстояние от начала координат неограниченно увеличивается).

Прямую называют вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно или .

Прямую называют наклонной асимптотой графика функции при , если функцию можно представить в виде

где при .

В этом случае

; .

В частности, если функция стремится к конечному пределу при : , то, очевидно, и линия имеет горизонтальную асимптоту, параллельную оси , именно .

3. Точки экстремума, интервалы возрастания и убывания.

Теорема (Достаточный признак монотоннос­ти). Если на некотором промежутке имеет производную для , то на функция возрастает .

Теорема (Необходимое условие экстремума). Если дифференцируема в точке и имеет в этой точке экстремум, то .

Функция может иметь экстремум среди точек, в которых:

1) ;

2) ;

3) – не существует, где .

Точки всех этих типов – критические точки функции.

Теорема (Достаточное условие экстремума). Пусть дифференцируема в (кроме, быть может, самой точки ). Если – критическая точка и производная при переходе через точку меняет знак, то функция имеет в данной точке экстремум:

максимум, если знак производной меняется с «+» на «–»;

минимум, если знак производной меняется с «–» на «+».