4. Элементы математического анализа

4.1. Кванторы

– «для любого » – квантор всеобщности;

– «существует такое, что …» – квантор существования;

– «существует только одно такое, что …» – квантор существования и единственности.

4.2. Определение функций

Определение. Если каждому числу поставлено в соответствие по некоторому правилу вполне определенное действительное число , то говорят, что на множестве определена числовая функция , т.е. .

Множество называют областью определения функции и обозначают .

Определение. Если каждой паре значений двух независимых друг от друга величин и из некоторой области соответствует определенное значение величины , то говорят, что есть функция двух независимых переменных и , определенная в области , т.е.

.

Область при этом называется областью определения функции .

При нахождении области определения функции двух переменных следует учитывать свойства элементарных функций.

Функция	Область определения

4.3. Предел функции , непрерывность, точки разрыва

Рассмотрим

– δ-окрестность точки ;

– выколотую δ-окрестность точки .

Определение (по Коши). Число называется пределом функции в точке (или при ), если для любого существует такое число , что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство: .

.

– первый замечательный предел;

– второй замечательный предел.

Таблица эквивалентностей при

, , , , , , , .

К неопределенностям относятся выражения вида , , , , и др.

1. Неопределенности вида . Чтобы раскрыть неопределенность этого вида, необходимо в числителе и знаменателе дроби выделить сомножитель, обращающий их в нуль, и сократить на него дробь. Способы выделения сомножителя зависят от вида функции, например:

а)

;

б)

Можно также пользоваться таблицей эквивалентностей;

в)

2. Неопределенности вида . Чтобы раскрыть неопределенность вида , можно пользоваться эквивалентными бесконечно большими функциями, например:

3. Неопределенности вида и сводятся предварительно к неопределенностям вида или , например:

а)

;

б)

.

4. Неопределенность вида раскрывается с помощью второго замечательного предела. Например:

.

Определение. Функцию называют непрерывной в точке , если выполняются следующие три условия:

1) определена в точке , т. е. ;

2) существует ;

3) .

1. Если в точке существуют конечные односторонние пределы и или , то точку называют точкой разрыва I рода, устранимого.

2. Если в точке существуют конечные односторонние пределы и , то точку называют точкой разрыва I рода, неустранимого.

3. Если хотя бы один из односторонних пределов равен или , то точку называют точкой разрыва II рода.

Пример. . В точке функция не определена, следовательно, – точка разрыва.

;

.

Следовательно, – точка разрыва II рода.