2.6. Аналитическая геометрия в пространстве

1. Плоскость. Общее уравнение плоскости :

, где .

Уравнение плоскости в отрезках:

,

где – отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях соответственно.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору нормали :

.

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , и :

.

Угол φ между плоскостями и .

Если :

: , то

.

Замечания:

а) || ||

;

б)

.

Расстояние от заданной точки до заданной плоскости : определяется по формуле

.

2. Прямая в пространстве. Уравнение прямой (l), проходящей через заданную точку параллельно заданному направляющему вектору , определяется по формуле

– каноническое уравнение прямой;

– параметрические уравнения прямой.

Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки и :

.

Угол между прямыми в пространстве. Если известны направляющие вектора для прямых ( ) и ( )

то .

Точка пересечения прямой и плоскости определяется как решение системы

(8)

Из уравнения (8) находим значения параметра и, подставляя их в первые три уравнения, находим координаты точки пересечения прямой и плоскости.

Замечания:

а) || || ;

б) .

Пусть известны нормаль к плоскости и направляющий вектор прямой , тогда имеем:

а) || ;

б) || ;

в) .

3. Комплексные числа

3.1. Основные понятия

Определение. Комплексным числом называют выражение вида

,

где и – действительные числа ; – мнимая единица или .

Число называют действительной частью комплексного числа и обозначают , а число – мнимой частью числа и обозначают .

Если , то – это число совпадает с действительным числом.

Если , то – это число называется чисто мнимым.

Определение. Число называется сопряженным с числом .

Таким образом, .

Пусть дано комплексное число . Выберем на плоскости декартову прямоугольную систему координат и будем трактовать и как координаты этой плоскости (рис. 12).

Тогда каждому комплексному числу будет отвечать определенная точка плоскости и, наоборот, каждой точке плоскости будет отвечать комплексное число .

Векторы будем считать свободными векторами. Это значит, что начало любого из этих векторов можно совместить с любой точкой плоскости , перенося соответствующим образом этот вектор параллельно самому себе. Наоборот, каждому вектору плоскости отвечает определенная точка плоскости – конец этого вектора, при условии, что начало вектора совмещено с началом координат.

Отсюда следует, что комплексные числа можно геометрически представить точками плоскости или же свободными векторами этой плоскости .

Каждое комплексное число можно изобразить геометрически точкой с координатами на плоскости (в декартовой прямоугольной системе координат), либо радиусом-вектором этой точки.

О пределение. Плоскость, на которой изображены комплек­сные числа, называется комплексной плоскостью и обозначается © (рис. 12).

φ

Рис. 12

В дальнейшем будем отождествлять комплексные числа и точки на © (ось ОX – действительная ось, OY – мнимая ось).

Определение. Расстояние от начала координат до точки называют модулем комплексного числа _:

_.

Определение. Аргументом комплексного числа называют угол φ между радиусом-вектором точки и положительным направлением оси .

Аргумент комплексного числа определяется с точностью до слагаемого .

Значение аргумента, удовлетворяющее условию , называют главным и обозначают , а множество всех значений аргумента – .

;

Имеем:

, , .

– алгебраическая форма комплексного числа z.