Матричный способ решения систем линейных уравнений.
Пусть дана система n уравнений с n неизвестными
(1)
Если
,
то систему (1) можно записать в матричном виде:
.
(2)
Определение.
Квадратная матрица
называется невырожденной,
если ее определитель не равен нулю, и
вырожденной,
если ее определитель равен нулю.
Определение.
Пусть
– невырожденная матрица, матрица
называется обратной
к матрице
,
если
,
где
–
единичная матрица.
Вырожденная матрица обратной не имеет.
Теорема. Если – невырожденная матрица, то обратная для нее матрица имеет вид
,
где
Δ – определитель матрицы
;
– алгебраическое дополнение к элементу
.
Если – невырожденная матрица, то для нее существует обратная матрица .
Умножим обе части уравнения (2) на слева
,
получим
.
Таким образом,
.
Элементы
матрицы
являются
решением данной системы.
Итак, чтобы решить систему n линейных уравнений с n неизвестными, достаточно:
Найти матрицу , обратную матрице , состоящей из коэффициентов при неизвестных системы.
Умножить матрицу на матрицу
,
состоящую из столбца свободных членов.
Пример. Решить систему матричным способом
Решение.
1)
.
2)
.
Ответ:
Применение матриц в электротехнике.
Матрицы применяются:
а) для сокращенной записи систем уравнения;
б) для некоторого упорядочения решения систем уравнений;
в) при исследовании топологических свойств электрических цепей в теории графов и при синтезе цепей. Сокращение записи при помощи матриц рассмотрим на примере. Положим, что для некоторой цепи записана система уравнений по методу контурных токов:
(3)
Систему (3) можно записать в матричном виде:
,
(4)
где
Некоторое упорядочение решения уравнений при помощи матриц проиллюстрируем на примере составного четырехполюсника (рис. 1).
Рис. 1
Найдем
матрицы
и
двух последовательно соединенных
четырехполюсников 1 и 2 (см. рис. 1) и
матрицу
эквивалентного им четырехполюсника.
Для первого четырехполюсника
.
Следовательно,
(5)
или
,
(6)
где
.
В
правой части уравнения (5) заменим
на его эквивалент из (6).
Получим
.
Матрица для двух последовательно соединенных четырехполюсников имеет вид
.
Следовательно,
2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
2.1. Векторы. Основные понятия
Многие физические величины полностью определяются заданием некоторого числа. Это, например, объем, масса, плотность, температура и др. Такие величины называются скалярными. Но есть и такие величины, которые определяются заданием не только числа, но и некоторого направления. Изучая действие какой-либо силы, необходимо указать не только значение этой силы, но и направление ее действия. Такие величины называются векторными.
Определение. Вектором называется направленный отрезок (рис. 2).
Рис. 2
Линейными операциями над векторами называются операции сложения и вычитания векторов и умножения векторов на число.
1) Сложение
векторов. Пусть
даны два вектора
.
Определение.
Суммой
векторов
называется вектор, который идет из
начало вектора
в конец
при условии, что начало
совпадает с концом
(рис. 3).
Рис. 3
Свойства сложения векторов:
1.
;
2.
;
3.
;
4.
,
где (
)
– вектор, противоположный
.
2) Вычитание векторов.
Определение
3. Разностью
векторов
называется вектор
,
который в сумме с
дает
.
Построение: и имеют общее начало (рис. 4).
Рис. 4
Замечание. Сумма и разность векторов может быть представлена геометрически (рис. 5).
Рис. 5
3) Умножение вектора на число.
Пусть даны вектор и λ – некоторое действительное число, не равное нулю (λ R, λ ≠ 0).
Определение
4. Произведением
называется вектор, который коллинеарен
вектору
,
имеет длину, равную
,
и направление такое же, как вектор
,
если
,
и противоположное, если
(рис. 6).
Рис. 6
Замечание.
Если векторы
и
коллинеарны, то существует и притом
только одно число λ такое, что
.
Свойства произведения векторов:
1.
и
;
2.
;
3.
;
4.
.
Определение.
Вектор
,
идущий от начала О
к некоторой точке М,
называется радиусом-вектором
точки М
и обозначается буквой
;
(рис.
7).
Рис. 7
Следует заметить важную формулу (рис. 8).
Рис. 8
Если
точка
– начало вектора, точка
– конец вектора, то координаты вектора
(рис. 9).
Рис. 9
Вектор
записывают также через единичные векторы
осей
:
–
(на плоскости) (см. рис. 9);
–
(в
пространстве).
Пусть
,
тогда
.
Расстояние между точками и :
–
;
– 
.
Координаты точки С, являющейся серединой отрезка АВ:
.
Длина вектора определяется формулами:
;
.